鸡兔同笼教案
●教学时间第四课时
●课 题
§7.3 鸡兔同笼
●教学目标
(一)教学知识点
1.会用二元一次方程组解决实际问题.
2.在解决实际问题的过程中,用方程组这样的数学模型刻画现实世界.
(二)能力训练要求
1.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力.
2.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.
(三)情感与价值观要求
1.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养应用数学的意识.
2.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
●教学重点
1.让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程.
2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生的数学应用能力.
●教学难点
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题,即数学建模的过程.
●教学方法
自主发现法.
学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解,组织学生自主交流,探索去发现列方程建模的过程,从而激发学生学习数学的兴趣,培养学生应用数学的意识.
●教具准备
投影片一张:鸡兔同笼(记作§7.3 A).
●教学过程
Ⅰ.提出问题,激发兴趣
[师]我们本章的开头就介绍过"鸡兔同笼"的问题,这节课我们接着用方程来解决此问题,看结果如何?
Ⅱ.讲授新课
出示投影片(§7.3 A)
1.今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
(1)"上有三十五头""下有九十四足"如何解释?
(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗?
(3)你能解决这样的问题吗?
2.有2元,5元,10元人民币共50张,合计305元,其中2元的张数与5元的张数相同,三种人民币各有多少张?
(1)这个问题和上面的"鸡兔同笼"问题有联系吗?
(2)你准备设几个未知数?
(3)你能根据题目中的已知量、未知量及它们之间的关系列出方程组吗?
(4)你能解决这样的问题吗?
[师]就上面的问题,我们先分组讨论.
(学生在讨论时,教师可参与到学生的讨论,听学生的想法,以便能及时了解学生的思路)
[师生共析]1.(1)"上有三十五头"是指"鸡和兔共有35只.即"鸡的只数+兔的只数=35只"."下有九十四足"是指鸡的腿与兔子的腿的和为94条.即"鸡的腿+兔子的腿=94".
(2)根据(1)中的数量关系,我们可以设鸡有x只,兔有y只,可得x+y=35 ①,2x+4y=94 ②,把①和②联立方程组,得
(3)解法一:由①得y=35-x ③
把③代入②中,得2x+4(35-x)=94
解得x=23
把x=23代入①,得y=12.
所以原方程组的解为
解法二:②-①×2,得
2y=24
y=12
把y=12代入①,得x=23
所以原方程组的解为
答:鸡有23只,兔子有12只.
和这一章最开始引言中用算术方法和一元一次方程的方法来解"鸡免同笼"的问题来比较,用列二元一次方程组来解决此题会更直观,更容易理解.
2.(1)这个问题类似于"鸡兔同笼"的问题.因为它也是将"2元,5元,10元"的人民币混合在了一起,只知道总共有多少张,合起来共多少元,求2元,5元,10元的人民币各有多少张?
(2)在这个题目中,设两个未知数也可以;设三个未知数也可以.我们先来看设两个未知数的情况.由于2元和5元的张数相同,我们可以各设有x张,10元的张数有y张.
(3)根据题目中的已知条件可找到两个等量关系即:2元的张数+5元的张数+10元的张数=50张,2元的总面值+5元的总面值+10元的总面值=305元,于是我们根据(1)中的未知数列出二元一次方程组:
(4)用代入消元法和加减消元法都可解决.可由同学们板演完成.
解法一:由①得y=50-2x ③
把③代入②,得x=15
把x=15代入③,得y=20
所以原方程组的解为
解法二:①×10-②,得
x=15
把x=15代入①,得y=20
所以原方程组的解为
答:2元和5元的人民币各有15张,10元的人民币有20张.
[议一议]如果2、(2)中设有三个未知数,即如果设2元的人民币有x张,5元的人民币y张,10元的人民币z张,如何列出方程组,解上述问题呢?
[生]我们在设未知数时,没有利用2元的人民币和5元的人民币张数相等这个条件,因此列出的方程就多出一个,再加上我们刚才的两个相等关系,列出的是一个三元一次方程组即由x=y ①,x+y+z=50 ②,2x+5y+10z=305 ③,组成的三元一次方程组.
[师]我们没有详细地讲过三元一次方程组的解法,但我们借鉴二元一次方程组的基本思路--消元,可以解答这个三元一次方程组.下面我们一同来解方程组
我们可以将①代入②和③,得二元一次方程组
解这个二元一次方程组,得
把y=15代入①得x=15
所以方程组的解为
[生]老师,看来解方程组未知数出了并不可怕,关键是掌握解方程组的基本思路--消元.
[师]的确如此.我们学会了解方程组可以解决许多问题.下面我们再来看一下例子.估计大家小学的时候见过.
[例1]以绳测井.若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?
谁来给大家解释一下题意.
[生]老师,我试一下.这个题目的大意是:用绳子测量水井的深度,如果将绳子三折即折成三等份,则一份绳子的长度比井多五尺;如果将绳子四折即折成四等份,则一份绳子的长度比井深多一尺.绳长、井深各是多少尺?
[师]这位同学解释得很棒.接下来我们就将此问题转化成数学模型方程组来解决它.首先我们可以从题目中找到相等关系.你知道相等关系蕴含在哪两句话里?你能用含文字的等式表示出来吗?
[生]可以.我认为相等关系蕴含在"将绳三折测之,绳多五尺"和"若将绳四折测之,绳多一尺".这两句话中,用等式表示出来为:
绳长÷3-井深=5 ①
绳长÷4-井深=1 ②
[生]老师,我认为相等关系也在这两句话中,但我用下面的等式表示:
绳长-3×井深=5×3 ③
绳长-4×井深=1×4 ④
[师]很好.我们现在设出未知数,设绳长为x尺,井深为y尺,根据①、②得方程组为:
根据③、④得方程组:
我们观察这两个方程组虽然形式上不同,但我们将第一个方程组中的方程化简,整理便可得出第二个方程组.因此这两个方程组是"同工异曲"的效果.下面我们在练习本上解出方程组的解,你可以任意选其中之一.
(然后让两位学生黑板上板演,教师讲评)
解法一:设绳长x尺,井深y尺,则
①-②,得 =4,
=4
x=48
将x=48代入①,得y=11
答:绳长48尺,井深11尺.
解法二:设绳子长x尺,井深y尺,则
由③-④,得y=11
把y=11代入④,得x=48
答:绳长48尺,井深11尺.
[师生共析]我们在列方程组解决实际问题时,应先分析题目中的已知量、未知量是什么,各个量之间的关系是什么,找出它们之间的相等关系,列出方程(组),建模过程就可完成,因此我们说解决实际问题的建模过程非常重要.
Ⅲ.随堂练习
课本P199.
1.解:设每头牛值"金"x两,每只羊值"金"y两,则
由①×2-②×5,得y= .
把y= 代入②,得x= .
所以,每头牛值"金" 两,每头羊值"金" 两.
2.解:设甲带钱x,乙带钱y,
则
由①×2-②,得x=37
把x=37 代入①,得y=25
所以甲带钱37 ,乙带钱25.
Ⅳ.课时小结
本节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程,体会到方程组是刻画现实世界的有效模型,从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
Ⅴ.课后作业
1.课本P199习题7.4.
2.收集资料:算经+书(网址:www.CBE21.com)的数学史料,以一组为单位办1份数学史料手抄报.
Ⅵ.活动与探究
如图,在一个正方体的顶点处填上1~9的数码中的8个,每一个顶点只填一个数码.使得正方体每个面上的四个顶点所填数码之和均为18,那么未被填上的数码是什么?
过程:如果用1~9中的每一个数去试,过程会很繁.根据题意,我们可以利用方程这个数学模型,使问题简单化.
结果:设未被填上的数为x,根据题意,可得:
(1+2+…+9-x)÷2=18
得45-x=36
x=9
所以未被填上的数是9.
●板书设计
§7.3 鸡兔同笼
一、鸡兔同笼
解:设鸡兔各有x只、y只,
根据题意,得:
(由学生板演解方程组的过程)
二、例题讲解
例1(课本P198)
三、随堂练习
(由学生板演)
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