一元二次不等式的解法1

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一元二次不等式的解法1

    教学目标:
    (1)透彻理解、掌握一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的内在联系,会解一元二次不等式;
    (2)培养学生数学的数形结合思想和转化能力,学会主动探求问题和寻找解决问题的方法。
    教学重点:一元二次不等式的解法(图象法)
    教学难点:
    (1)一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;
    (2)数形结合思想的渗透
    教学方法与教学手段:尝试探索教学法、归纳概括。
    教学过程:
    一、 复习引入
    1. 复习一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系
    [师]前面我们已经学习了绝对值不等式的解法,今天开始研究一元二次不等式的解法。(板书课题)记得在初中我们已学习了一元一次不等式的解法,还记得是用什么方法解的吗?
    学生可能回答是代数方法,也可能说是利用直线图象。
    [师]初中学习了一次函数的图象,使得我们对一元一次不等式的解法有了更深入的了解。首先请同学们画出   y=2x-7 
    [师]请同学们画出图象,并回答问题。
    一次函数y=2x-7的图象如下:
    填表:
    当x        时,y = 0,即  2x-7       0;
    当x        时,y < 0,即  2x-7       0;
    当x        时,y > 0,即  2x-7       0;
    注:(1)引导学生由图象得出结论(数形结合)
    (2)由学生填空(一边演示y<0,y >0部分图象)
    从上例的特殊情形,你能得出什么结论?
    注:教师引导下学生发现其结论,并由学生尝试叙述:一元一次方程ax+b=0的根实质上就是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标;一元一次不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集实质上就是使得函数的图象在x轴上方还是下方时x的取值范围。
    2. 新课导入
    [师]我们可以利用一次函数的图象快速准确地求出一元一次不等式的解集,那能否也可以借助二次函数的图象来解一元二次不等式呢?
    二、 讲解新课
    1、 一元二次不等式解法的探索
    [师] 你知道二次函数的草图是怎样画出的吗?(用"特殊点法"而非课本上的"列表描点法")你能回答以下问题吗?二次函数 y=x2-4x+3的图象如下:
    填表:方程x2-4x+3=0(即y=0)的解是             
    不等式x2-4x+3>0(即y>0)的解集是          
    不等式x2-4x+3<0(即y<0)的解集是           
    注:学生类比前面的知识,能根据二次函数的图象确定与x轴的交点,确定对应的一元二次方程的根,从而确定一元二次不等式的解集。(边说边画y>0,y<0部分图象)
    [师]现在如果我变动这条抛物线,请大家观察抛物线与x轴的交点有何变化?
    注:引导学生发现一元二次方程的根有三种情况,其对应的二次函数图象与x轴的位置关系也有三种情况,是由  >0, =0,  <0来确定的。
    2、 讲解例题
    [师]接下来请同学们再来分析几个具体例子
    (板书)例:解下列各不等式
    (1)2x2-3x-2>0;
    (2) -3x2+6x>2;
    (3)4x2-4x+1>0;
    (4)-x2+2x-3>0.
    注:跟学生共同详细分析(1),强调解题规范性,其余(2)(3)(4)由学生完成,并小组讨论。
    解:(1)方程2x2-3x-2=0的两根为x1=- 或 x2=2,(画草图,结合图象)
    所以原不等式的解集是{x| x<- 或x>2 }
    注:问题要顺利求解,应先考虑对应方程
    的根的情况,然后画出草图,结合不等式写出解集。           2
    (以下学生试着解决,并回答)
    (2)分析一:结合开口向下的抛物线求解。
    分析二:引导学生能否转化为熟知类型,与(1)中二次项系数作比较,只要不等式两边同乘以-1,并注意不等式要改变方向。
    解:原不等式可变为   3x2-6x+2<0
    方程3x2-6x+2=0的两根为 x1=1-  , x2=1+
    原不等式解集为:  {x |   1- <x<1+ }
    (3)方程 4x2-4x+1=0有两等根 x1=x2=
    所以原不等式的解集是{x |x  }
    变式训练:改成4x2-4x+1 0,请学生回答(使学生知道不等式的解也可能是一个值)。
    (4)将原不等式变形为:x2-2x+3<0
    方程x2-2x+3=0无实根
    原不等式的解集是
    变式训练: -x2+2x-3<0呢?(说明:判别式 <0时,不等式的解集未必是 )
    [师]上述几例都有各自的特点,反映在哪两方面呢?注:引导学生总结:一是二次项系数,二是判别式 ,一般要先将二次项系数转化为正数。
    三、 师生共同小结
    [师] 请同学们说说用图象法解一元二次不等式的步骤是什么?(学生尝试叙述,老师适当补充并板书)
    (1) 首先将二次项系数化为正数
    (2) 其次考虑相应的二次方程的根的情况
    (3) 再画出相应的二次函数的草图,写出解集。
    --体会"数形结合"思想
    [师]那么对于一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0 (a>0)的解集情况又如何呢?(请学生结合上述具体例子的图象来尝试总结,必须分三种情况,投影空白的表格,学生总结一个,就填上一个)。
    四、 课后作业:书P21/习题1.5/1.3.5.6
    五、 教学设计说明:
    1、本节课教学设计力图体现以学生发展为本,遵循学生的认知规律,体现循序渐进的教学原则,通过对原有知识的复习,引导学生类比探索新的知识,激发学生的求知欲望,调动学生的积极性。
    2、本节课采用在教师引导下启发学生探索发现,体会解题过程中形结合思想方法,使之获得内心感受。
    3、本节课的重点是利用图象解一元二次不等式,让学生明确一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的联系。在思维训练方面,注重从特殊到一般,从具体到抽象思维的培养。归纳总结可以训练学生的收敛思维,有助于完善学生的思维结构。
    4、本节课的例题及课堂练习是课本上的习题,其目的在于落实基础,提高运算能力。
    板书:             1.5一元一次不等式解法(一)
    1."三个一次"关系
    2"三个二次"关系 
    例题
    小结(解法归纳)
    练习
    作业