“平方根”教学案例
教学目标①掌握平方根的概念,明确平方根和算术平方根之间的联系和区别;
②能用符号正确地表示一个数的平方根,理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系;
③培养学生的探究能力和归纳问题的能力。
教学重点与难点
重点:平方根的概念和求数的平方根。
难点:平方根和算术平方根的联系与区别。
教学准备
教师:有关平方根的历史资料。
教学设计
教学过程
设计意图说明
思考归纳,引入概念
如果一个数的平方等于9,这个数是多少?
学生思考并讨论,使学生明白这样的数有两个,它们是3和-3。受前面知识的影响学生可能不易想到-3这个数,这时可提醒学生,这里的这个数可以是负数。注意(-3)2=9中括号的作用。
又如:x2= ,则x等于多少呢?
使学生完成课本165页的填表练习。
给出平方根的概念:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根.即:如果x2=a,那么x叫做a的平方根。
求一个数的平方根的运算,叫做开平方。
例如:±3的平方等于9,9的平方根是±3,所以平方与开平方互为逆运算。
观察:课本165页中的图10.1-2。
图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程,揭示了开平方运算的本质。
让学生体验平方和开平方的互逆关系,并根据这个关系说出1,4,9的平方根。
注意:这阶段主要是让学生建立平方根的概念,先不引入平方根的符号,给出的数是完全平方数。
例1(课本165页的例4)求下列各数的平方根:
(1)100;(2);(3)0.25。
建议:教师要规范书写格式。
这个思考题是引入平方根概念的切入点,要让学生有充分的时间进行思考和体验。
在等式中求出x的值,为填表做准备。
通过填表中的x的值,进一步加深对“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象,为平方根的引入做准备。
教学中可以引导学生通过查阅资料等方式,了解平方根产生发展的过程。(通常称为平方根。在研究有关n次方根的问题时,为使各次方根的说法协调起见,常采用二次方根的说法。)±3表示+3和-3两个数。这种写法学生不太习惯,在以后的教学中宜不断提及这一点。
通过此例使学生明白平方根可以从平方运算中求得,并能规范地表述一个数的平方根.这个例题也为后面探讨平方根的特征做好准备。
讨论归纳,深化概念
按照平方根的概念,请同学们思考并讨论下列问题:
正数的平方根有什么特点?0的平方根是多少?负数有平方根吗?
建议:可引导学生通过观察x2=a中的a和x的取值范围和取值个数得出。
根据上面讨论得出的结果填课本166页的表。
注:学生刚开始接触平方根时,有两点可能不太习惯,一个是正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果,这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同,另一个是负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算,这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到(0作除数的情况除外)。教学时,可以通过较多实例说明这两点,并在本节以后的教学中继续强化这两点。
引入符号:正数a的算术平方根可用表示;正数a的负的平方根可用表示。例如……
思考:表示什么意思,这里的x可取什么样的数呢?而对于-又该怎样理解呢?这里的x又可取什么样的数呢?
通过讨论,使学生对有理数的平方根有一个全面的认识。也是平方根概念的进一步深化。体验分类思想,巩固平方根概念。
加深对符号意义的理解和对平方根概念的灵活应用。
测试学生对平方根概念的掌握情况。
应用
例2 下列各数有平方根吗?如果有,求出它的平方根;如果没有,说明理由。
-64,0,(-4)2,10-2
如果有要用平方根的符号来表示。
例3(课本166页的例5)求下列各式的值:
(1);(2);(3);
(4);(5)。
建议:要让学生明白各式所表示的意义;根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式.平方根和算术平方根的概念是本章重点内容,两者既有区别又有联系。区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数,根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根,因此我们可以利用算术平方根来研究平方根。
思考:的值是多少?
熟练应用平方根的概念,计算有关算式的值,是本课的主要内容。
被开方数不是完全平方数时可用计算器求出它的近似值。
练习巩固
课本P167的练习。
小结:
什么叫做一个数的平方根?
正数,0,负数的平方根有什么规律?
怎样求出一个数的平方根?数a的平方根怎样表示?
练习答案
1.表中的第1行依次填11,-11,0.6,-0.6;第2行依次填64,925。
2.(1)13;(2)-0.07;(3)。
3.面积为A的正方形的边长为。
布置作业
①必做题:教科书第167页习题10.1的第3、4、7、8、11、12题。
②选做题:
(1)检验下面各题中前面的数是不是后面数的平方根:
①±12,144 ②±0.2,0.04 ③102,104 ④14,256
(2)用计算器求下列各式的值(精确到0.01):
① ② ③
④
(3)具有下列边长的正方形的面积是多大?
① ② ③
(4)如图,面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形.用计算器求a的长(保留2个有效数字)。
(5)①如果a的平方根是±2,那么=。
②在公式c=中,已知a=6,b=8,求c。
③在公式a=中,已知c=41,b=40,求a。
设计思想
①本课主要是在算术平方根的基础上建立平方根的概念,要以等式x2=a和已有算术平方根概念为基础,并使学生明确平方根与算术平方根之间的联系与区别,明确开平方与平方之 间的互逆关系,把握了这些平方根的有关概念,正数、零、负数的平方根的规律也就不难掌握了。
②有关求算式的值的问题,一定要使学生体会到这个算式所表示的具体意义,这样才能使学生在本质上掌握其求法。
背景资料
n次方根和n次算术根
这一章里,我们研究的是数的平方根和立方根。实际上,数的方根的概念可以推广。一般地,如果一个数的n(n是大于1的整数)次方等于a,这个数就叫做a的n次方根。换句话说,如果xn=a,那么x就叫做a的n次方根。求a的n次方根的运算,叫做把a开n次方,a叫做被开方数,n叫做根指数。
例如,由于24=16和(-2)4=16,我们把2和-2叫做16的4次方根,这个运算叫做把16开4次方,16叫做被开方数,4叫做根指数。
如果a6=64,a=?请你求一下。
一般地,正数的偶次方根有两个,它们互为相反数。
当n是偶数时,正数a的n次方根就用表示,负的n次方根就用表示,也可以合起来写作。例如=2,-=-2,合起来写作±=±2。
想一想,负数有偶次方根吗?
我们已经知道,任何一个数都有立方根。下面进一步来看看:32的5次方根是多少?-128的7次方根呢?
因为25=32,所以2是32的5次方根;
因为(-2)7=-128,所以-2是-128的7次方根。
一般的,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数。
当n是奇数时,a的n次方根用表示。
例如:=2, 。
我们还看到,
,
∴ 。
一般地,如果a>0,n是正的奇数,
那么,
0的n次方根是0,0的n次方根记作,即有=0。
正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根。0的n次方根也叫做0的n次算术根。
求一个数的方根的运算,叫做开方。很明显,开n次方与n次方互为逆运算。
关于根号的由来,可以利用互联网了解更多的内容。
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