二次根式的化简
教学建议知识结构
.
重难点分析
本节的重点是 的化简.本章自始至终围绕着二次根式的化简与计算进行,而 的化简不但涉及到前面学习过的算术平方根、二次根式等概念与二次根式的运算性质,还要牵涉到绝对值以及各种非负数、因式分解等知识,在应用中经常需要对字母进行分类讨论.
本节的难点是正确理解与应用公式
.
这个公式的表达形式对学生来说,比较生疏,而实际运用时,则要牵涉到对字母取值范围的讨论,学生往往轻易出现错误.
教法建议
1.性质的引入方法很多,以下2种比较常用:
(1)设计问题引导启发:由设计的问题
1) 、 、 各等于什么?
2) 、 、 各等于什么?
启发、引导学生猜想出
(2)从算术平方根的意义引入.
2.性质的巩固有两个方面需要注重:
(1)注重与性质 进行对比,可出几道类型不同的题进行比较;
(2)学生初次接触这种形式的表示方式,在教学时要注重细分层次加以巩固,如单个数字,单个字母,单项式,可进行因式分解的多项式,等等.
(第1课时)
一、教学目标
1.把握二次根式的性质
2.能够利用二次根式的性质化简二次根式
3.通过本节的学习渗透分类讨论的数学思想和方法
二、教学设计
对比、归纳、总结
三、重点和难点
1.重点:理解并把握二次根式的性质
2.难点:理解式子 中的 可以取任意实数,并能根据字母的取值范围正确地化简有关的二次根式.
四、课时安排
1课时
五、教具学具预备
投影仪、胶片、多媒体
六、师生互动活动设计
复习对比,归纳整理,应用提高,以学生活动为主
七、教学过程
一、导入新课
我们知道,式子 ( )表示非负数 的算术平方根.
问:式子 的意义是什么?被开方数中的 表示的是什么数?
答:式子 表示非负数 的算术平方根,即 ,且 ,从而 可以取任意实数.
二、新课
计算下列各题,并回答以下问题:
(1) ;(2) ;(3) ;
(4) ;(5) ;(6)
(7) ;(8)
1.各小题中被开方数的幂的底数都是什么数?
2.各小题的结果和相应的被开方数的幂的底数有什么关系?
3.用字母 表示被开方数的幂的底数,将有怎样的结论?并用语言叙述你的结论.
答:
(1) ;(2) ;(3) ;
(4) ;(5) ;(6)
(7) ;(8) .
1.(1),(2),(3)各题中的被开方数的幂的底数都是正数;(4),(5),(6),(7)各题中的被开方数的幂的底数都是负数;(8)题被开方数的幂的底数是0.
2.(1),(2),(3),(8)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数都分别相等;(4),(5),(6),(7)各题的计算结果和相应的被开方数的幂的底数分别互为相反数.
3.用字母 表示(1),(2),(3),(8)各题中被开方数的幂的底数,有
( ),
用字母 表示(4),(5),(6),(7)各题中被开方数的幂的底数,有
( ).
一个非负数的平方的算术平方根,等于这个非负数本身;一个负数的平方的算术平方根,等于这个负数的相反数.
问:请把上述讨论结论,用一个式子表示.(注重表示条件和结论)
答:
请同学回忆实数的绝对值的代数意义,它和上述二次根式的性质有什么联系?
答:
填空:
1.当 _________时, ;
2.当 时, ,当 时, ;
3.若 ,则 ________;
4.当 时, .
答:
1.当 时, ;
2.当 时, ,
当 时, ;
3.若 ,则 ;
4.当 时, .
例1 化简 ( ).
分析:可以利用积的算术平方根的性质及二次根式的性质化简.
解 ,因为 ,所以 ,所以
.
指出:在化简和运算过程中,把 先写成 ,再根据已知条件中 的取值范围,确定其结果.
例2 化简 ( ).
分析:根据二次根式的性质,当 时, .
解 .
例3 化简:(1) ( );(2) ( ).
分析:根据二次根式的性质,当 时, .
解 (1) .
(2) .
注重:(1)题中的被开方数 ,因为 ,所以 .
(2)题中的被开方数 ,因为 ,所以 .
这里 的取值范围,在已知条件中没有直接给出,但可以由已知条件分析而得出.
例4 化简 .
分析:根据二次根式的性质,有
.
所以要比较 与3及1与 的大小以确定 及 的符号,然后再进行化简.
解 因为 , ,所以
, .
所以
.
三、课堂练习
1.求下列各式的值:
(1) ;(2) .
2.化简:
(1) ;(2) ;
(3) ( );(4) ( ).
3.化简:
(1) ;(2) ;
(3) ;(4) ;
(5) ;(6) ( ).
答案:
1.(1)0.1;(2) .
2.(1) ;(2) ;(3) ;(4) .
3.(1)4;(2)1.5;(3)0.09;(4)-1;(5)4;(6)-1.
四、小结
1.二次根式 的意义是 ,所以 ,因此 ,其中 可以取任意实数.
2.化简形如 的二次根式,首先可把 写成 的形式,再根据已知条件中字母 的取值范围,确定其结果.
3.在化简中,注重运用题设中的隐含条件,如二次根式 有意义的条件是被开方 ,这是隐含条件.
五、作业
1.化简:
(1) ;(2) ;
(3) ( );(4) ( );
(5) ;(6) ( , );
(7) ( ).
2.化简:
(1) ;
(2) ( );
(3) ( , ).
答案:
1.(1)-30;(2) ;(3) ;
(4) ;(5) ;(6) ;(7) .
2.(1)2;(2)0;(3) .
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