圆的方程
教学目标(1)把握圆的标准方程,能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程,也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径.
教学建议
教材分析
(2)重点、难点分析
教学设计示例
圆的一般方程
教学目标:
(1)把握圆的一般方程及其特点.
(2)能将圆的一般方程转化为圆的标准方程,从而求出圆心和半径.
(3)能用待定系数法,由已知条件求出圆的一般方程.
(4)通过本节课学习,进一步把握配方法和待定系数法.
教学重点:(1)用配方法,把圆的一般方程转化成标准方程,求出圆心和半径.
(2)用待定系数法求圆的方程.
教学难点:圆的一般方程特点的研究.
教学用具:计算机.
教学方法:启发引导法,讨论法.
教学过程:
引入
前边已经学过了圆的标准方程
把它展开得
任何圆的方程都可以通过展开化成形如
①
的方程
问题1
形如①的方程的曲线是否都是圆?
师生共同讨论分析:
假如①表示圆,那么它一定是某个圆的标准方程展开整理得到的.我们把它再写成原来的形式不就可以看出来了吗?运用配方法,得
②
显然②是不是圆方程与 是什么样的数密切相关,具体如下:
(1)当 时,②表示以 为圆心、以 为半径的圆;
(2)当 时,②表示一个点 ;
(3)当 时,②不表示任何曲线.
总结:任意形如①的方程可能表示一个圆,也可能表示一个点,还有可能什么也不表示.
圆的一般方程的定义:
当 时,①表示以 为圆心、以 为半径的圆,
此时①称作圆的一般方程.
即称形如 的方程为圆的一般方程.
问题2圆的一般方程的特点,与圆的标准方程的异同.
(1) 和 的系数相同,都不为0.
(2)没有形如 的二次项.
圆的一般方程与一般的二元二次方程
③
相比较,上述(1)、(2)两个条件仅是③表示圆的必要条件,而不是充分条件或充要条件.
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋:
(1)圆的标准方程带有明显的几何的影子,圆心和半径一目了然.
(2)圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构,更适合方程理论的运用.
实例分析
例1:下列方程各表示什么图形.
(1) ;
(2) ;
(3) .
学生演算并回答
(1)表示点(0,0);
(2)配方得 ,表示以 为圆心,3为半径的圆;
(3)配方得 ,当 、 同时为0时,表示原点(0,0);当 、 不同时为0时,表示以 为圆心, 为半径的圆.
例2:求过三点 , , 的圆的方程,并求出圆心坐标和半径.
分析:由于学习了圆的标准方程和圆的一般方程,那么本题既可以用标准方程求解,也可以用一般方程求解.
解:设圆的方程为
因为 、 、 三点在圆上,则有
解得: , ,
所求圆的方程为
可化为
圆心为 ,半径为5.
请同学们再用标准方程求解,比较两种解法的区别.
概括总结通过学生讨论,师生共同总结:
(1)求圆的方程多用待定系数法.其步骤为:由题意设方程(标准方程或一般方程);根据条件列出关于待定系数的方程组;解方程组求出系数,写出方程.
(2)如何选用圆的标准方程和圆的一般方程.一般地,易求圆心和半径时,选用标准方程;假如给出圆上已知点,可选用一般方程.
下面再看一个问题:
例3: 经过点 作圆 的割线,交圆 于 、 两点,求线段 的中点 的轨迹.
解:圆 的方程可化为 ,其圆心为 ,半径为2.设 是轨迹上任意一点.
∵
∴
即
化简得
点 在曲线上,并且曲线为圆 内部的一段圆弧.
练习巩固
(1)方程 表示的曲线是以 为圆心,4为半径的圆.求 、 、 的值.(结果为4,-6,-3)
(2)求经过三点 、 、 的圆的方程.
分析:用圆的一般方程,代入点的坐标,解方程组得圆的方程为 .
(3)课本第79页练习1,2.
小结师生共同总结:
(1)圆的一般方程及其特点.
(2)用配方法化圆的一般方程为圆的标准方程,求圆心坐标和半径.
(3)用待定系数法求圆的方程.
作业课本第82页5,6,7,8.
板书设计
圆的一般方程
圆的一般方程
例1:
例2:
例3:
练习:
小结:
作业:
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