椭圆及其标准方程
教学目标1.把握椭圆的定义,把握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;
2.能根据条件确定椭圆的标准方程,把握运用待定系数法求椭圆的标准方程;
3.通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力;
4.通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步把握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的能力;
5.通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程,激发学生学习数学的积极性,培养学生的学习爱好和创新意识.
教学建议
教材分析
1. 知识结构
2.重点难点分析
重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式.难点是椭圆标准方程的建立和推导.关键是把握建立坐标系与根式化简的方法.
椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容:一是椭圆的定义;二是椭圆的标准方程.椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先碰到的,所以教材把对椭圆的研究放在了重点,在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用.先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然.学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的.
(1)对于椭圆的定义的理解,要抓住椭圆上的点所要满足的条件,即椭圆上点的几何性质,可以对比圆的定义来理解.
另外要注重到定义中对“常数”的限定即常数要大于 .这样规定是为了避免出现两种非凡情况,即:“当常数等于 时轨迹是一条线段;当常数小于 时无轨迹”.这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质.但讲解椭圆的定义时注重不要忽略这两种非凡情况,以保证对椭圆定义的准确性.
(2)根据椭圆的定义求标准方程,应注重下面几点:
①曲线的方程依靠于坐标系,建立适当的坐标系,是求曲线方程首先应该注重的地方.应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理,发现椭圆有两条互相垂直的对称轴,以这两条对称轴作为坐标系的两轴,不但可以使方程的推导过程变得简单,而且也可以使最终得出的方程形式整洁和简洁.
②设椭圆的焦距为 ,椭圆上任一点到两个焦点的距离为 ,令 ,这些措施,都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整洁、简洁,要让学生认真领会.
③在方程的推导过程中碰到了无理方程的化简,这既是我们今后在求轨迹方程时经常碰到的问题,又是学生的难点.要注重说明这类方程的化简方法:①方程中只有一个根式时,需将它单独留在方程的一侧,把其他项移至另一侧;②方程中有两个根式时,需将它们分别放在方程的两侧,并使其中一侧只有一项.
④教科书上对椭圆标准方程的推导,实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程 “而没有证实,”方程 的解为坐标的点都在椭圆上”.这实际上是方程的同解变形问题,难度较大,对同学们不作要求.
(3)两种标准方程的椭圆异同点
中心在原点、焦点分别在 轴上, 轴上的椭圆标准方程分别为: , .它们的相同点是:外形相同、大小相同,都有 , .不同点是:两种椭圆相对于坐标系的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大;
椭圆的焦点在 轴上 标准方程中 项的分母较大.
另外,形如 中,只要 , , 同号,就是椭圆方程,它可以化为 .
(4)教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法.例3有三个作用:第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法;第二是向学生说明,假如求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同,那么这个轨迹是椭圆;第三是使学生知道,一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆.
教法建议
(1)使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用,激发学生的学习爱好.
为激发学生学习圆锥曲线的爱好,体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用,可由实际问题引入,从中提出圆锥曲线要研究的问题,使学生对所要研究的内容心中有数,如书中所给的例子,还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。
例如,我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行,太阳系的其他行星也如此,太阳则位于椭圆的一个焦点上.假如这些行星运动的速度增大到某种程度,它们就会沿抛物线或双曲线运行.人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理.相对于一个物体,按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动,不可能有任何其他的轨道.因而,圆锥曲线在这种意义上讲,它构成了我们宇宙的基本形式,另外,工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线,都和圆锥曲线有关,圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的.
(2)安排学生课下切割圆锥形的事物,使学生了解圆锥曲线名称的来历
为了让学生了解圆锥曲线名称的来历,但为了节约课堂时间,教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等,以加深对圆锥曲线的熟悉.
(3)对椭圆的定义的引入,要注重借助于直观、形象的模型或教具,让学生从感性熟悉入手,逐步上升到理性熟悉,形成正确的概念。
教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道,谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等,让学生先对椭圆有一个直观的了解。
教师可事先预备好一根细线及两根钉子,在给出椭圆在数学上的严格定义之前,教师先在黑板上取两个定点(两定点之间的距离小于细线的长度),再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后,教师再在黑板上取两个定点(两定点之间的距离大于细线的长度),然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程,总结出经验和教训,教师因势利导,让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样,学生对这一定义就会有深刻的了解。
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