高考数学数列、极限、数学归纳法
数列、极限、数学归纳法
考试内容
数列.等差数列及其通项公式.等差数列前n项和公式.等比数列及其通项公式.等比数列前n项和公式.
数列的极限及其四则运算.
数学归纳法及其应用.
考试要求
(1)理解数列的有关概念.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
(2)理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式,并能够运用这些知识解决一些问题.
(3)理解等比数列的概念.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能够运用这些知识解决一些问题.
(4)了解数列极限的意义.掌握极限的四则运算法则,会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限.
(5)了解数学归纳法的原理,并能用数学归纳法证明一些简单的问题.
复习建议
本讲内容包括数列、极限与数学归纳法三个部分
1.数列的知识要点:
(1)理解数列的定义、表示法、数列的分类.理解数列是特殊的函数,数列是定义在自然数集n(或它的有限子集{1,2,3,…,n,…})上的函数f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值:f(1),f(2),f(3),…,f(n),….数列的图象是由一群孤立的点构成的.
(2)对于数列的通项公式要掌握:①已知数列的通项公式,就可以求出数列的各项;②根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式,这是一个难点,在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况,分解所给数列的前几项,看看这几项的分解中.哪些部分是变化的,哪些是不变的,再探索各项中变化部分与序号的联系,从而归纳出构成数列的规律,写出通项公式;③一个数列还可以用递推公式来表示;④在数列{an}中,前n 项和sn 与通项公式an 的关系,是本章内容一个重点,要认真掌握之.即an= .特别要注意的是,若a1 适合由an=sn-sn-1(n≥2)可得到的表达式,则an 不必表达成分段形式,可化统一为一个式子.
2.等差数列的知识要点:
(1)掌握等差数列定义an+1-an=d(常数)(n n),这是证明一个数列是等差数列的依据,要防止仅由前若干项,如a3-a2=a2-a1=d(常数)就说{an}是等差数列这样的错误,判断一个数列是否是等差数列.还可由an+an+2=2 an+1 即an+2-an+1=an+1-an 来判断.
(2)等差数列的通项为an=a1+(n-1)d.可整理成an=an+(a1-d),当d≠0时,an 是关于n 的一次式,它的图象是一条直线上,那么n 为自然数的点的集合.
(3)对于a 是a、b 的等差中项,可以表示成2 a=a+b.
(4)等差数列的前n 项和公式sn= ·n-na1+ d,可以整理成
sn= n2+ .当d≠0时是n 的一个常数项为0的二次式.
3.等比数列的知识要点:(可类比等差数列学习)
(1)掌握等比数列定义 =q(常数)(n n),同样是证明一个数列是等比数列的依据.也可由an·an+2= 来判断.
(2)等比数列的通项公式为an=a1·qn-1.
(3)对于g 是a、b 的等差中项,则g2=ab,g=± .
(4)特别要注意等比数列前n 项和公式应分为q=1与q≠1两类.
当q=1时,sn=na1.
当q≠1时,sn= ,sn= .
(5)对于数列求和.主要掌握以下几种方法:
① 直接运用公式求和法;
② 折项分组求和法;
③ 倒序相加求和法;
④ 错项相减求和法;
⑤ 折项相消求和法.
4.数列极限知识要点:
(1)应掌握数列极限的定义:对于数列{an},如果存在一个常数a,无论预先指定多么小的正数e,都能在数列找到一项an,使得n>n时,|an-a|<e 恒成立,则 an=a,会用此定义证明简单数列的极限.
(2)应掌握极限的运算法则.如果 an=a, bn=b,那么
(an±bn)=a±b;
(anbn)=a·b;
= (b≠0).
(3)当|q|<1时,无穷等比数列多项和s= sn= .
5.数学归纳法知识要点:
应理解数学归纳法是一种递推方法,它称两个步骤进行.第一步是递推的基础,第二步是递推的根据.二步缺一不可.关键是第二步推证必须合理使用归纳假设.
应重点掌握猜证法,猜想是用不完全归纳法得出结论,再用数学归纳法给予证明,形成一个完整的创造过程.
数列极限数学归纳法综合练习题
一、选择题
(1)设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c( )
a.是等差数列而非等比数列 b.是等比数列而非等差数列
c.既是等差数列又等比数列 d.既不是等差数列也不是等比数列
(2)等比数列{an},首项a1=1,公比q≠1.若其中a1,a2,a3依次是某等差数列的第1,2,5项,则它的公比q=( )
a.2 b.3 c.-3 d.-2
(3){an}是等差数列,则下列关系式中正确的是( )
a.a3·a6≥a4·a5 b.a3·a6>a4·a5 c.a3·a6≤a4·a5 d.a3·a6<a4·a5
(4)一个等比数列共有3n项,公比q≠1,它的前n项的和记为s,第二个n项的和记为p,第三个n项的和记为q,则s,p,q间的关系是( )
a.p=sq b.2p=s+q c.p2=sq d.p=s+q
(5)在3和9之间插入两个数a,b,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则|a+b|的最小值是( )
a. b.6 c.2 d.0
(6) ,当a>1时,m的值是p,当0<a<1时,m的值为q,则p+q的值是( )
a.1+ b.1- c.1+a d.1-a
(7) 的值是( )
a.
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