圆周角

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圆周角

    第一课时 圆周角(一)
    教学目标:
    (1)理解圆周角的概念,把握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用;
    (2)继续培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力;
    (3)渗透由“非凡到一般”,由“一般到非凡”的数学思想方法.
    教学重点:圆周角的概念和圆周角定理
    教学难点:圆周角定理的证实中由“一般到非凡”的数学思想方法和完全归纳法的数学思想.
    教学活动设计:(在教师指导下完成)
    (一)圆周角的概念
    1、复习提问:
    (1)什么是圆心角?
    答:顶点在圆心的角叫圆心角.
    (2)圆心角的度数定理是什么?
    答:圆心角的度数等于它所对弧的度数.(如右图)
    2、引题圆周角:
    假如顶点不在圆心而在圆上,则得到如左图的新的角∠ACB,它就是圆周角.(如右图)(演示图形,提出圆周角的定义)
    定义:顶点在圆周上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角
    3、概念辨析:
    教材P93中1题:判定下列各图形中的是不是圆周角,并说明理由.
    学生归纳:一个角是圆周角的条件:①顶点在圆上;②两边都和圆相交.
    (二)圆周角的定理
    1、提出圆周角的度数问题
    问题:圆周角的度数与什么有关系?
    经过电脑演示图形,让学生观察图形、分析圆周角与圆心角,猜想它们有无关系.引导学生在建立关系时注重弧所对的圆周角的三种情况:圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部.
    (在教师引导下完成)
    (1)当圆心在圆周角的一边上时,圆周角与相应的圆心角的关系:(演示图形)观察得知圆心在圆周角上时,圆周角是圆心角的一半.
    提出必须用严格的数学方法去证实.
    证实:(圆心在圆周角上)
    (2)其它情况,圆周角与相应圆心角的关系:
    当圆心在圆周角外部时(或在圆周角内部时)引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况,从而运用前面的结论,得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.
    证实:作出过C的直径(略)
    圆周角定理: 一条弧所对的
    周角等于它所对圆心角的一半.
    说明:这个定理的证实我们分成三种情况.这体现了数学中的分类方法;在证实中,后两种都化成了第一种情况,这体现数学中的化归思想.(对A层学生渗透完全归纳法)
    (三)定理的应用
    1、例题: 如图 OA、OB、OC都是圆O的半径, ∠AOB=2∠BOC.
    求证:∠ACB=2∠BAC
    让学生自主分析、解得,教师规范推理过程.
    说明:①推理要严密;②符号“”应用要严格,教师要讲清.
    2、巩固练习:
    (1)如图,已知圆心角∠AOB=100°,求圆周角∠ACB、∠ADB的度数?
    (2)一条弦分圆为1:4两部分,求这弦所对的圆周角的度数?
    说明:一条弧所对的圆周角有无数多个,却这条弧所对的圆周角的度数只有一个,但一条弦所对的圆周角的度数只有两个.
    (四)总结
    知识:(1)圆周角定义及其两个特征;(2)圆周角定理的内容.
    思想方法:一种方法和一种思想:
    在证实中,运用了数学中的分类方法和“化归”思想.分类时应作到不重不漏;化归思想是将复杂的问题转化成一系列的简单问题或已证问题.
    (五)作业 教材P100中 习题A组6,7,8
    第二、三课时 圆周角(二、三)
    教学目标:
    (1)把握圆周角定理的三个推论,并会熟练运用这些知识进行有关的计算和证实;
    (2)进一步培养学生观察、分析及解决问题的能力及逻辑推理能力;
    (3)培养添加辅助线的能力和思维的广阔性.
    教学重点:圆周角定理的三个推论的应用.
    教学难点:三个推论的灵活应用以及辅助线的添加.
    教学活动设计:
    (一)创设学习情境
    问题1:画一个圆,以B、C为弧的端点能画多少个圆周角?它们有什么关系?
    问题2:在⊙O中,若 = ,能否得到∠C=∠G呢?根据什么?反过来,若土∠C=∠G ,是否得到 = 呢?
    (二)分析、研究、交流、归纳
    让学生分析、研究,并充分交流.
    注重:①问题解决,只要构造圆心角进行过渡即可;②若 = ,则∠C=∠G;但反之不成立.
    老师组织学生归纳:
    推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.
    重视:同弧说明是“同一个圆”; 等弧说明是“在同圆或等圆中”.
    问题: “同弧”能否改成“同弦”呢?同弦所对的圆周角一定相等吗?(学生通过交流获得知识)
    问题3:(1)一个非凡的圆弧——半圆,它所对的圆周角是什么样的角?
    (2)假如一条弧所对的圆周角是90°,那么这条弧所对的圆心角是什么样的角?
    学生通过以上两个问题的解决,在教师引导下得推论2:
    推论2: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦直径.
    指出:这个推论是圆中一个很重要的性质,为在圆中确定直角、成垂直关系创造了条件,要熟练把握.
    启发学生根据推论2推出推论3:
    推论3:假如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角是直角三角形.
    指出:推论3是下面定理的逆定理:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.
    (三)应用、反思
    例1、如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.
    求证:AB·AC=AE·AD.
    对A层同学,让学生自主地分析问题、解决问题,进行生生交流,师生交流;其他层次的学生在教师引导下完成.
    交流:①分析解题思路;②作辅助线的方法;③解题推理过程(要规范).
    解(略)
    教师引导学生思考:(1)此题还有其它证法吗? (2)比较以上证法的优缺点.
    指出:在解圆的有关问题时,经常需要添加辅助线,构成直径上的圆周角,以便利用直径上的圆周角是直角的性质.
    变式练习1:如图,△ABC内接于⊙O,∠1=∠2.
    求证:AB·AC=AE·AD.
    变式练习2:如图,已知△ABC内接于⊙O,弦AE平分
    ∠BAC交BC于D.
    求证:AB·AC=AE·AD.
    指出:这组题目比较典型,圆和相似三角形有密切联系,证实圆中某些线段成比例,经常需要找出或通过辅助线构造出相似三角形.
    例2:如图,已知在⊙O中,直径AB为10厘米,弦AC为6厘米,∠ACB的平分线交⊙O于D;
    求BC,AD和BD的长.
    解:(略)
    说明:充分利用直径所对的圆周角为直角,解直角三角形.
    练习:教材P96中1、2
    (四)小结(指导学生共同小结)
    知识:本节课主要学习了圆周角定理的三个推论.这三个推论各具特色,作用各异,在今后的学习中应用十分广泛,应熟练把握.
    能力:在解圆的有关问题时,经常需要添加辅助线,构成直径所对的圆周角或构成相似三角形,这种基本技能技巧一定要把握.
    (五)作业
    教材P100.习题A组9、10、12、13、14题;另外A层同学做P102B组3,4题.
    探究活动
    我们已经学习了“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”,但当角的顶点在圆外(如图①称圆外角)或在圆内(如图②称圆内角),它的度数又和什么有关呢?请探究.
    提示:(1)连结BC,可得∠E= ( 的度数— 的度数)
    (2)延长AE、CE分别交圆于B、D,则∠B= 的度数,
    ∠C= 的度数,
    ∴∠AEC=∠B ∠C= ( 的度数 的度数).