三角形的内切圆

欢迎来到论文参考中心,在您阅读前,与您分享:路是脚踏出来的，历史是人写出来的。人的每一步行动都在书写自己的历史。 —— 吉鸿昌
  

三角形的内切圆

    1、教材分析
    (1)知识结构
    (2)重点、难点分析
    重点:三角形内切圆的概念及内心的性质.因为它是三角形的重要概念之一.
    难点:①难点是“接”与“切”的含义,学生轻易混淆;②画三角形内切圆,学生不易画好.
    2、教学建议
    本节内容需要一个课时.
    (1)在教学中,组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质;
    (2)在教学中,类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”,开展活动式教学.
    教学目标:
    1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法,理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念;
    2、应用类比的数学思想方法研究内切圆,逐步培养学生的研究问题能力;
    3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动.
    教学重点:
    三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质.
    教学难点:
    三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质.
    教学活动设计
    (一)提出问题
    1、提出问题:如图,你能否在△ABC中画出一个圆?画出一个最大的圆?想一想,怎样画?
    2、分析、研究问题:
    让学生动脑筋、想办法,使学生熟悉作三角形内切圆的实际意义.
    3、解决问题:
    例1 作圆,使它和已知三角形的各边都相切.
    引导学生结合图,写出已知、求作,然后师生共同分析,寻找作法.
    提出以下几个问题进行讨论:
    ①作圆的关键是什么?
    ②假设⊙I是所求作的圆,⊙I和三角形三边都相切,圆心I应满足什么条件?
    ③这样的点I应在什么位置?
    ④圆心I确定后半径如何找.
    A层学生自己用直尺圆规准确作图,并叙述作法;B层学生在老师指导下完成.
    完成这个题目后,启发学生得出如下结论: 和三角形的各边都相切的圆可以作一个且只可以作出一个.
    (二)类比联想,学习新知识.
    1、概念:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.
    2、类比:
    名称
    确定方法
    图形
    性质
    外心(三角形外接圆的圆心)
    三角形三边中垂线的交点
    (1)OA=OB=OC;
    (2)外心不一定在三角形的内部.
    内心(三角形内切圆的圆心)
    三角形三条角平分线的交点
    (1)到三边的距离相等;
    (2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB;
    (3)内心在三角形内部.
    3、概念推广:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.
    4、概念理解:
    引导学生理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念,并与三角形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较,以加深对这四个概念的理解.使学生弄清“内”与“外”、“接”与“切”的含义.“接”与“切”是说明三角形的顶点和边与圆的关系:三角形的顶点都在圆上,叫做“接”;三角形的边都与圆相切叫做“切”.
    (三)应用与反思
    例2 如图,在△ABC中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,点O是三角形的内心.
    求∠BOC的度数
    分析:要求∠BOC的度数,只要求出∠OBC和∠0CB的度数之和就可,即求∠l十∠3的度数.因为O是△ABC的内心,所以OB和OC分别为∠ABC和∠BCA的平分线,于是有∠1十∠3= (∠ABC十∠ACB),再由三角形的内角和定理易求出∠BOC的度数.
    解:(引导学生分析,写出解题过程)
    例3 如图,△ABC中,E是内心,∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D
    求证:DE=DB
    分析:从条件想,E是内心,则E在∠A的平分线上,同时也在∠ABC的平分线上,考虑连结BE,得出∠3=∠4.
    从结论想,要证DE=DB,只要证实BDE为等腰三角形,同样 考虑到连结BE.于是得到下述法.
    证实:连结BE.
    E是△ABC的内心
    又∵∠1=∠2
    ∠1=∠2
    ∴∠1 ∠3=∠4 ∠5
    ∴∠BED=∠EBD
    ∴DE=DB
    练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内切圆,并说明三角形的内心是否都在三角形内.
    (四)小结
    1.教师先向学生提出问题:这节课学习了哪些概念?怎样作已知三角形的内切圆?学习时互该注重哪些问题?
    2.学生回答的基础上,归纳总结:
    (1)学习了三角形内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念.
    (2)利用作三角形的内角平分线,任意两条角平分线的交点就是内切圆的圆心,交点到任意一边的距离是圆的半径.
    (3)在学习有关概念时,应注重区别“内”与“外”,“接”与“切”;还应注重“连结内心和三角形顶点”这一辅助线的添加和应用.
    (五)作业
    教材P115习题中,A组1(3),10,11,12题;A层学生多做B组3题.
    探究活动
    问题:如图1,有一张四边形ABCD纸片,且AB=AD=6cm,CB=CD=8cm,∠B=90°.
    (1)要把该四边形裁剪成一个面积最大的圆形纸片,你能否用折叠的方法找出圆心,若能请你度量出圆的半径(精确到0.1cm);
    (2)计算出最大的圆形纸片的半径(要求精确值).
    提示:(1)由条件可得AC为四边形似的对称轴,存在内切圆,能用折叠的方法找出圆心:
    如图2,①以AC为轴对折;②对折∠ABC,折线交AC于O;③使折线过O,且EB与EA边重合.则点O为所求圆的圆心,OE为半径.
    (2)如图3,设内切圆的半径为r,则通过面积可得:6r 8r=48,∴r=.