平均数
第一课时素质教育目标
(一)知识教学点
1.使学生初步了解统计知识是应用广泛的数学内容 .
2.了解平均数的意义,会计算一组数据的平均数 .
3.当一组数据的数值较大时,会用简算公式计算一组数据的平均数 .
(二)能力练习点
培养学生的观察能力、计算能力 .
(三)德育渗透点
1.培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯 .
2.渗透数学来源于实践,反地来又作用于实践的观点 .
(四)美育渗透点
通过本课的学习,渗透数学公式的简单美和结构的严谨美,展示了寓深奥于浅显,寓纷繁于严谨的辩证统一的数学美 .
重点·难点·疑点及解决办法
1.教学重点:平均数的概念及其计算 .
2.教学难点:平均数的简化计算 .
3.教学疑点:平均数简化公式的应用,a如何选择 .
4.解决办法:分清两个公式,公式②的运用要选择一个适当的a .
教学步骤
(一)明确目标
在日常生活中,我们常与数据打交道,例如,电视台天天晚上都要预告第二天当地的最低气温与最高气温,商店天天都要结算一下当天的营业额,每个班次的飞机都要统计一下乘客的人数等.这些都涉及数据的计算问题.请同学们思考下面问题.(教师出示幻灯片)
为了从甲乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,对他们的射击水平进行了测验.两人在相同条件下各射靶10次,命中的环数如下:
甲78686591074
乙9578768677
1.怎样比较两个人的成绩?2.应选哪一个人参加射击比赛?
教师要引导学生观察,给学生充分的时间去思考,并可以分成小组讨论解决办法.
对于这个问题,部分学生可能感到无从下手,部分学生可能想到去比较两组数据的平均,让学生动手具体算一下两组数据的平均数结果它们相等在学生无法解决此问题的情况下,教师说明,这正是本章要解决的问题之一(写出课题).这样做的目的是教师有意创设问题情境、制造悬念,这不仅能激发学生学习的积极性和自觉性,引起学生对所学课程的注重,还能诱发学生探求新知识的浓厚爱好.
(二)整体感知
解决类似上述的问题要用到统计学的知识,统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据并据之做出推断的科学,它以概率论为基础,着重研究如何根据样本的性质去推测总体的性质.在当今的信息时代,统计学的应用非常广泛,以至于它已渗透到整个社会生活的各个方面.本章我们将学习统计学的一些初步知识.
(三)教学过程
这节课我们首先来学习平均数.
1.(出示幻灯片)请同学看下面问题:
某班第一小组一次数学测验的成绩如下:
869110072938990857595
这个小组的平均成绩是多少?
教师引导学生动笔计算,并找一名学生到黑板板演,讲完引例后,引导学生归纳出求平均数方法,这样做使学生对平均数的计算公式能有深刻的熟悉 .
2.平均数的概念及计算公式
一般地,假如有n个数 .
那么 ①
叫做这n个数的平均数, 读作“x拨” .
这是在初中数学课本中第一次出现带有省略号的用字母表示的n个数相加的一般写法 .学生对此可能会感到比较抽象,不太习惯,要向学生强调,采用这种写法是简化表示,是为了使问题的讨论具有一般性 .教师应通过对公式的剖析,使学生正确理解公式,并把握公式中各元素的意义 .
3.平均数计算公式①的应用
例1 一个地区某年1月上旬各天的最低气温依次是(单位:℃):
-6,-5,-7,-6,-4,-5,-7,-8,-7
求它们的平均气温 .
让学生动手计算,以巩固平均数计算公式(一名学生板演)
教师应强调:①解题格式 .②在统计学里处理的数据包括负数 .③在本章中,如无非凡说明,平均数计算结果保留的位数与原数据相同 .
例2 从一批机器零件毛坯中取出20件,称得它们的质量如下(单位:千克):
210208200205202218206214215207195207218192202216185227187215
计算它们的平均质量 .(用投影仪打出)
引导学生两人一组完成计算,然后一起对答案 .由于数据较大,计算较繁,可能会出现不同的答案 .正好为下面提出简化计算公式作好铺垫 .
教师提出问题:像例2这样,数据较大,计算较繁,因而轻易出错,有没有较为简便的算法呢?引导学生观察数据有什么特点?都接近于哪一个数?启发学生讨论,寻找简便算法 .
学生回答:数据都在200左右波动,可将各数据同时减去200,转而计算一组数值较小的新数据的平均数,至此让学生再一次两人一组用简便方法计算例2,并与前面计算的结果相比较是否一样 .
讲完例2后,教师指出几点:常数a的取法不是惟一的; 读作“x——撇——拨”;;简化计算的结果与前面毛算的结果相同 .
通过学生的动手计算,若产生困难或错误,教师及时点拨,引导学生寻找解决问题的方法,这不仅可以激发学生学习的爱好,更培养了学生的发散思维能力,同时也使学生对公式②的推导更轻易接受 .
3.推导公式②
一般地,当一组数据 的各个数值较大时,可将各数据同时减去一个适当的常数a,得到
,
那么 ,
因此,
即 ②
为了加深学生对公式②的熟悉,再让学生指出例2的 、 、 各是什么?(学生回答)
课堂练习:
教材P148中~P149中1,2,3
(四)总结、扩展
知识小结:1.统计学是一门与数据打交道的学问,应用十分广泛 .本章将要学习的是统计学的初步知识 .
2.求n个数据的平均数的公式① .
3.平均数的简化计算公式② .这个公式很重要,要学会运用 .
方法小结:通过本节课我们学到了示一组数据平均数的方法 .当数据比较小时,可用公式①直接计算 .当数据比较大,而且都在某一个数左右波动时,可选用公式②进行计算 .
八、布置作业
教材P153中1、2、3、4 .
九、板书设计
教学设计示例2
教学目标
(一)使学生了解平均数的意义,会计算一组数据的平均数.了解加权平均数的意义,并会求加权平均数;
(二)会运用平均数的简化运算方法.
教学重点和难点
重点:会计算平均数及运用平均数的简化方法,会运用加权平均数公式.
教学过程设计
(一)引入新课
在初中一年级代数课本P106的“读一读”那一节,讲的是求平均数.有这样一例题:
女子排球队共有10名队员,身高(单位:米)分别为:
1.73,1.74,1.70,1.76,1.80,1.75,1.77,1.79,1.74,1.72.
求这个队的队员平均身高是多少?
解:求这个平均数的计算方法有两个.
方法1:直接计算
方法2:简化计算
观察一下这些数都在1.75的上、下,这时,可以这样考虑:先计算各数与1.75的差,也就是先都减去1.75(为了不出现小数,不妨把单位换成厘米)得到2厘米,1厘米,5厘米,1厘米,5厘米,0厘米,2厘米,4厘米,1厘米,3厘米.
计算这组数的平均数,得:
因为前面计算时,每个数都减去了175厘米,所以把这里的得数0加上175,就得出这个排球队全体队员的平均身高是175厘米
在求一组数的平均数时,只要这组数都接近某一个数,就可以采用这种简化的计算方法.
以上例子告诉我们什么是平均数,怎样求平均数.假如这组数存在着大致在某一个数的上、下波动的情况,可以用简便方法计算.
(二)新课
1.平均数
在统计里,平均数是重要概念之一,它是显示出一组数据的集中趋势的特征数字,也就是说这组数据都“接近”哪个数.
上面的公式①,就是我们在求女排队员身高平均数的“直接算法”.
当一组数据x1,x2,…,xn的各个数值较大时,可将各数据同时减去一个适当
公式②就是我们在求女排队员身高平均数的“简便方法”
例1 某食品厂为了加强质量治理,对某天生产的罐头抽查了10个,样本净重如下(单位:克)
342,348,346,340,344,341,343,350,340,342.
求样本的平均数.
解法2:把已知数据都减去342,得0,6,4,-2,2,-1,1,8,-2,0,
例2 从一批货物中取出20件,称得它们的重量如下(单位:千克):
310,308,300,305,302,318,306,314,315,307,
295,307,318,292,302,316,285,327,287,315.
求样本的平均数(结果保留到个位)
即样本平均数为306千克.
解法2:
由于题中数据都较大,而且都在常数300上、下波动,把原数据都减去300,得:
10,8,0,5,2,18,6,14,15,7,5,7,18,8,2,16,15,27,13,15.
2.加权平均数
设有甲、乙、丙三种可混合包装的食品,它们的单价分别是1.8元,2.5元,3.2元,现取甲种食品50公斤,乙种食品40公斤,丙种食品10公斤,把这三种食品混合后每公斤的单价是多少?
答:混合后的单价为2.50元.这个答案是不对的,因为混合后的售价不仅与每种食品的单价有关,而且还与每种食品的重量(公斤数)有关.这些食品混合后的售价应该等于
这种平均数叫做加权平均数.
一般说来,假如在n个数中,x1出现f1次,x2出现f2次,……,xk出现fk次(这里f1 f2+……+fk=n),那么根据平均数公式①,这n个数的平均数可以表示为
计算加权平均数的公式③,与计算平均数的公式①,实际上是一回事.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,用加权平均数公式计算简便些.在公式③中,相同数据xi的个数fi叫做权.这个“权”,含有所占分量轻重的意思.fi越大,表示xi的个数越多,于是xi的“权”就越重.
例3 某班有50名学生,数学期中考试成绩90分的有9人,84分的有12人,73分的有10人,65分的有13人,56分的有2人,45分的有4人,计算这个班学生的数学期中考试平均成绩(结果保留到小数点后第一位).
在例1~例3的求平均数问题中可以看到,平均数能够反映出数据的集中趋势.
(三)课堂练习
若4,x,5的平均数是7,则3,4,5,x,6五个数的平均数是______.
(四)小结
1.用样本平均数去估计总体平均数,这是学习平均数的目的.
2.平均数计算公式,平均数简化计算公式,加权平均数计算公式都很重要,应根据具体情况,恰当选取哪个公式
(五)作业
1.数据15,23,17,18,22的平均数是________.
2.5个数据的和为405,其中一个数据为85,那么另4个数据的平均数是______.
(1)105,103,101,100,114,108,110,106,98,102;(共10个)
(2)4203,4204,4200,4194,4204,4210,4195,4199.(共8个)
4.在一个班的40名学生中,14岁的有5人,15岁的有30人,16岁的有4人,17岁的有1人.求这个班学生的平均年龄.
5.抽查了一个商店某月里5天的日营业额,结果如下(单位:元):
14845,25306,18954,11672,16330
(1)求样本平均数;
(2)根据样本平均数估计,这个商店在该月里平均日营业额约是多少?
6.在一段时间里,一个学生记录了其中8天他天天完成家庭作业所需要的时间,结果如下(单位:分):
80,70,90,70,60,50,80,60.
在这段时间里,该学生平均天天完成家庭作业所需要的时间约是多少?
作业答案与提示:
1.19.
5.(1)样本平均数是17421元;
(2)根据上面计算结果,可估计在该月里平均日营业额约为17421.
根据样本平均数,可估计该学生平均天天完成家庭作业所需时间约为70分.
课堂教学设计说明
1.平均数是统计中的重要概念之一,通过样本平均数来估计总体平均数.样本容量取得越大,则用样本平均数估计的总体平均数越精确,也就是所表示的总体平均的变化趋势越集中于准确值.作业中的第5,6两题就是为体现这种思想而设计的.
2.这一节课的目标是要弄清两个概念(平均数、加权平均数),三个公式(求平均值公式,求平均值的简化公式和求加权平均数公式).
教学设计中,先从初中一年级代数课本的内容引出平均数概念、计算公式及简化公式.所以很自然地转入新课,在介绍了平均数概念后,紧接着对计算公式作出一般性的证实.
在加权平均数一节,先列举一个易犯的错误,分析其错误原因,然后推导出公式.
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