解直角三形应用举例
1.知识结构:2.重点和难点分析
重点和难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
3.教法建议
本节知识与实际联系密切,这些知识可以直接用来解决一些实际问题,这在几何的许多章节中是做不到的,所以要充分发挥这一特点,通过教学,培养学生应用数学的意识,解决实际问题的能力.要解决实际问题,首先要能够把实际问题抽象为数学问题,然后运用数学知识解决这些问题,为了使学生能够处理一些简单问题,教材中配备一些比较典型的例题,这些例题的教学,要注重以下几个问题:
1.帮助学生弄清实际问题的意义.由于学生接触实际较少,实践经验不足,许多实际问题的意义不清楚,许多术语不熟悉,这些在教学中要向学生说明.例如测量中的仰角、俯角、视线、铅垂线等等,零件图,非凡是剖面图的意义,航行中的方位角等.学生懂得了这些常识,才能理解实际问题.
2.帮助学生画出草图.把实际问题抽象为几何问题,关键是画出草图,通过图形反映问题中的已知与未知,以及已知和未知量之间的关系.这里要解决好两个问题:
(1)实际问题基本上是空间三维的问题,要会把它转化为平面问题,画出平面图形.例如飞机在空中俯看地面目标,选取经过飞机、地面目标的垂直于地平面的平面(图1);机器零件大都画出横断面、纵断面(图2);在地面上测两点距离,两个方向夹角,可以画平行地面的平面等.
(2)船在海上航行,在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置,这类问题难点在于确定基准点.例如,说灯塔在船的什么方向上,这时船是基准点,假如说船在岸边某一点的什么方向上,这时岸边的这一点是基准点.有时因为船在航行中观测灯塔,基准点在转移,这些都会给画图增加困难.
在第一册里,介绍过空间里的平行、垂直关系,也介绍过方向角的概念,这些都可以作为学习的基础,教学时可适当复习,帮助学生回忆.
3.帮助学生根据需要作出辅助线.画出的草图,不一定有直角三角形,为了用解直角三角形的方法解决这些问题,经常需要添加辅助线.在这些问题中,辅助线经常是垂线或者平行线,例如图3中的几个问题中,虚线就是所要添加的辅助线.
4.有了直角三角形,还要进一步分析,由题目的条件可以知道直角三角形的哪些边或角,题目要求的是哪些边或角,这样才可以用解直角三角形的方法解决这些实际问题.
一、教学目标
1.使学生了解仰角、俯角的概念,能根据直角三角形的知识解决实际问题,会把实际问题转化为数学问题来解决;
2.通过本节的教学,进一步把形和数结合起来,提高学生分析问题、解决实际问题的能力;
3.通过本节的教学,向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养他们用数学的意识.
二、重点·难点·疑点及解决办法
1. 重点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
2.难点:要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
3.疑点:练习中水位为+2.63这一条件学生可能不理解,教师最好用实际教具加以说明.
4.解决办法:引导学生体会实际问题中的概念,建立数学模型,从而重难点,以教具演示解决疑点.
三、教学过程
1.仰角、俯角
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在
水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
教学时,可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义.
2.例1
如图,某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度米,从飞机上看地平面控制点 B的俯角,求飞机A到控制点B距离(精确到1米).
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题,利用解直角三角报知识来解决,在此之
前,学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后,用数学方法来解决问题的方法,但
不太熟练.因此,解决此题的关键是转化实际问题为数学问题,转化过程中着重语学生画几
何图形,并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么),会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角得出中的,进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了.
解:在中,
∴(米).
答:飞机A到控制点B的距离约为4221米.
[例1]小结:本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式
来解决的两个实际问题即已知和斜边,求的对边;以及已知和对边,求斜边.
3.巩固练习 P.25.
如图,某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角.已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m,当时水位为+2.63m,求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
为了巩固例1,加深学生对仰角、俯角的了解,配备了练习.
由于学生只接触了一道实际应用题,对其还不熟悉,不会将其转化
为数学问题,因此教师在学生充分地思考后,应引导学生分析:
1.谁能将实物图形抽象为几何图形?请一名同学上黑板画出来.
2.请学生结合图说出已知条件和所求各是什么?
答:已知,求AB.
这样,学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答.
对于程度较高的学生,教师还可以将此题变式,当船继续行驶到D时,测得俯角,当时水位为-1.15m,求观察所A到船只B的水平距离(精确到1m),请学生独立完成.
例2 如图所示,已知A、B两点间的距离是160米,从A点看B点的仰角是11°,AC长为1.5米,求BD的高及水平距离CD.
此题在例1的基础上,又加深了一步,须由A作一条平等于CD的直线交BD于E,构造出,然后进一步求出AE、BE,进而求出BD与CD.
设置此题,既使成绩较好的学生有足够的练习,同时对较差学生又是巩固,达到分层次教学的目的.
解:过A作,于是,
在中,
∴(米).
.
∴(米).
∴(米).
(米).
答:BD的高及水平距离CD分别是32.03米,157.1米.
练习:为测量松树AB的高度,一个人站在距松树15米的E处,测得仰角,已知人的高度为1.72米,求树高(精确到0.01米).
要求学生根据题意能画图,把实际问题转化为数学问题,利用解直角三角形的知识来解决它.
探究活动
一、望海岛
如图, 要测量海岛高度,立两根高度都是3丈的杆,两杆相距1000步,使前杆、后杆、海岛排成一直线。从前杆往回走123步,脚、前杆顶、岛顶共线。从后杆往回走127步,脚、后杆、岛顶共线。问岛高和岛离前杆分别为多少?(在古代,1里=300步,1步=6尺=0.6丈)
答案: 4里55步;102里150步.
二、望松
如下图,求出三顶松的高度.
答案: 12丈2尺8寸.
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