子集、全集、补集
教学目标:(1)理解子集、真子集、补集、两个集合相等概念;
(2)了解全集、空集的意义,
(3)把握有关子集、全集、补集的符号及表示方法,会用它们正确表示一些简单的集合,培养学生的符号表示的能力;
(4)会求已知集合的子集、真子集,会求全集中子集在全集中的补集;
(5)能判定两集合间的包含、相等关系,并会用符号及图形(文氏图)准确地表示出来,培养学生的数学结合的数学思想;
(6)培养学生用集合的观点分析问题、解决问题的能力.
教学重点:子集、补集的概念
教学难点:弄清元素与子集、属于与包含之间的区别
教学用具:幻灯机
教学过程设计
(一)导入新课
上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识.
提出问题(投影打出)
已知 , , ,问:
1.哪些集合表示方法是列举法.
2.哪些集合表示方法是描述法.
3.将集M、集从集P用图示法表示.
4.分别说出各集合中的元素.
5.将每个集合中的元素与该集合的关系用符号表示出来.将集N中元素3与集M的关系用符号表示出来.
6.集M中元素与集N有何关系.集M中元素与集P有何关系.
找学生回答
1.集合M和集合N;(口答)
2.集合P;(口答)
3.(笔练结合板演)
4.集M中元素有-1,1;集N中元素有-1,1,3;集P中元素有-1,1.(口答)
5. , , , , , , , (笔练结合板演)
6.集M中任何元素都是集N的元素.集M中任何元素都是集P的元素.(口答)
引入在上面见到的集M与集N;集M与集P通过元素建立了某种关系,而具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现,本节将研究有关两个集合间关系的问题.
(二)新授知识
1.子集
(1)子集定义:一般地,对于两个集合A与B,假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A。
记作: 读作:A包含于B或B包含A
当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作:A B或B A.
性质:① (任何一个集合是它本身的子集)
② (空集是任何集合的子集)
置疑能否把子集说成是由原来集合中的部分元素组成的集合?
解疑不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合.
因为B的子集也包括它本身,而这个子集是由B的全体元素组成的.空集也是B的子集,而这个集合中并不含有B中的元素.由此也可看到,把A是B的子集解释成A是由B的部分元素组成的集合是不确切的.
(2)集合相等:一般地,对于两个集合A与B,假如集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B。
例: ,可见,集合 ,是指A、B的所有元素完全相同.
(3)真子集:对于两个集合A与B,假如 ,并且 ,我们就说集合A是集合B的真子集,记作: (或 ),读作A真包含于B或B真包含A。
思考能否这样定义真子集:“假如A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集.”
集合B同它的真子集A之间的关系,可用文氏图表示,其中两个圆的内部分别表示集合A,B.
提问
(1) 写出数集N,Z,Q,R的包含关系,并用文氏图表示。
(2) 判定下列写法是否正确
① A ② A ③ ④A A
性质:
(1)空集是任何非空集合的真子集。若 A ,且A≠ ,则 A;
(2)假如 , ,则 .
例1 写出集合 的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
解:集合 的所有的子集是 , , , ,其中 , , 是 的真子集.
注重(
1)子集与真子集符号的方向。
(2)易混符号
①“ ”与“ ”:元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系。如 R,{1} {1,2,3}
②{0}与 :{0}是含有一个元素0的集合, 是不含任何元素的集合。
如: {0}。不能写成 ={0}, ∈{0}
例2 见教材P8(解略)
例3 判定下列说法是否正确,假如不正确,请加以改正.
(1) 表示空集;
(2)空集是任何集合的真子集;
(3) 不是 ;
(4) 的所有子集是 ;
(5)假如 且 ,那么B必是A的真子集;
(6) 与 不能同时成立.
解:(1) 不表示空集,它表示以空集为元素的集合,所以(1)不正确;
(2)不正确.空集是任何非空集合的真子集;
(3)不正确. 与 表示同一集合;
(4)不正确. 的所有子集是 ;
(5)正确
(6)不正确.当 时, 与 能同时成立.
例4 用适当的符号( , )填空:
(1) ; ; ;
(2) ; ;
(3) ;
(4)设 , , ,则A B C.
解:(1)0 0 ;
(2) = , ;
(3) , ∴ ;
(4)A,B,C均表示所有奇数组成的集合,∴A=B=C.
练习教材P9
用适当的符号( , )填空:
(1) ; (5) ;
(2) ; (6) ;
(3) ; (7) ;
(4) ; (8) .
解:(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5)=;(6) ;(7) ;(8) .
提问:见教材P9例子
(二) 全集与补集
1.补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作 ,即
.
A在S中的补集 可用右图中阴影部分表示.
性质: S( SA)=A
如:(1)若S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},则 SA={2,4,6};
(2)若A={0},则 NA=N*;
(3) RQ是无理数集。
2.全集:
假如集合S中含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用 表示.
注: 是对于给定的全集 而言的,当全集不同时,补集也会不同.
例如:若 ,当 时, ;当 时,则 .
例5 设全集 , , ,判定 与 之间的关系.
解:∵
∴
∵
∴
∴
练习:见教材P10练习
1.填空:
, , ,那么 , .
解: ,
2.填空:
(1)假如全集 ,那么N的补集 ;
(2)假如全集, ,那么 的补集 ( )= .
解:(1) ;(2) .
(三)小结:本节课学习了以下内容:
1.五个概念(子集、集合相等、真子集、补集、全集,其中子集、补集为重点)
2.五条性质
(1)空集是任何集合的子集。Φ A
(2)空集是任何非空集合的真子集。Φ A (A≠Φ)
(3)任何一个集合是它本身的子集。
(4)假如 , ,则 .
(5) S( SA)=A
3.两组易混符号:(1)“ ”与“ ”:(2){0}与
(四)课后作业:见教材P10习题1.2
(五)板书设计:
课题
一、知识点
(一)
(二)
例题:
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