两条直线的位置关系
(2)夹角①应正确区分直线 到 的角、直线 到 的角、直线 和 的夹角这三个概念.
到 的角是带方向的角,它是指 按逆时针方向旋转到与 重合时所转的角,它与 到 的角是不同的,假如设前者是 ,后者是 ,则 + = . 与 所夹的不大于 的角成为 和 的夹角,夹角不带方向.
当 到 的角为锐角 时,则 和 的夹角也是 ;当 到 的角为钝角 时,则 和 的夹角也是 .
②在求直线 到 的角 时,应注重分析图形的几何性质,找出 与 , 的倾斜角 , 关系,得出 或 ,然后由 , 联想差角的正切公式,便可把图形的几何性质转化为坐标语言来表示,推导出
.
再由 与 的夹角与 到 的角之间的关系,而得出夹角计算公式
这种把“形”转化为“数”的方法,是解析几何的基本方法,要认真揣摩.
③对于以上两个求角公式,在解决实际问题时,要注重根据具体情况选用.
(3)交点
①求两条直线的交点问题就是求它们的方程的公共解的问题,这可以由直线的方程与方程的直线的定义来理解.
②在同一平面内,两条直线有三种位置关系:相交、平行、重合,相应的由直线方程组成的二元一次方程组的解有三种情况:有惟一解、无解、无数多个解.但在实际判定时,利用直线的斜率和截距更方便.若 , ,则:
与 相交 ;
且 ;
与 重合 且 .
(4)点到直线的距离
①点到直线的距离公式是研究点与直线位置关系的重要工具.教科书借助于直角三角形的面积公式,推导出点到直线的距离公式.在推导过程中,把与两条坐标轴都不平行的线段的长度的计算,转化为与坐标轴平等或垂直的线段长度的计算,从而简化了运算过程.
②利用点到直线的距离公式可推出两平行线
课题:点到直线的距离
教学目标:(1)理解点到直线距离公式的推导过程.
(2)会求点到直线的距离.
(3)在探索点到直线距离公式推导思路的过程中,培养学生发散思维、积极探索的精神.
教学用具:计算机
教学方法:启发引导法,讨论法
教学过程:
一、引入
点到直线的距离是指过点 作 的垂线, 与垂足 之间的长度
问题1已知点 (1,2)和直线 : ,求 点到直线 的距离.
(由学生分析、解答)
分析:先求出过 点和 垂直的直线:
: ,再求出 和 的交点
∴
假如把问题1一般化就有如下问题:
问题2已知: 和直线 : ( 不在直线 上,且 , ),试求 点到直线 的距离.
二、点到直线距离
分析1:要求 的长度可以象问题1的解法一样,利用两点的距离公式可以求 的长度.
∵ 点坐标已知,∴只要求出 点坐标就可以了.
又∵ 点是直线 和直线 的交点
又∵直线 的方程已知
∴只要求出直线 的方程就可以了.
即: ← 点坐标←直线 与直线 的交点←直线 的方程←直线 的斜率←直线 的斜率
(这一解法在课前由学生自学完成,课上进行评价总结)
解:在直线 上任取一点,如 ,则两平行线的距离就是点 到直线 的距离.
因此, = =
问题3
两条平行直线的距离是否有公式可以推出呢?求两条平行直线 与 0的距离.
解:在直线上 任取一点,如
则两平行线的距离就是点 到直线 的距离,(如图2).
因此, = =
注重:用公式时,注重一次项系数是否一致.
四、小结作业
1、点到直线的距离公式及其推导;
师生一起总结点到直线距离公式的推导过程:
2、利用公式求点到直线的距离.
3、探索两平行直线的距离
4、探索“已知点到直线的距离及一条直线求另一条直线距离.
作业:P54 13、14、16思考研究:运用多种方法推导点到直线的距离公式.
探究活动
研究性学习
点到直线距离公式是本节的重点和难点之一,公式的推导历来是探索的重点.教材上的第二种方法较传统已有不少改进,但运用向量的理论研究两条直线的位置关系的新思想在这一问题上没有体现,而运用向量理论推导点到直线的距离公式又是可行的,因此尝试用向量推导距离公式是很有意义的.为此设计如下研究性题目:
试用向量的理论推导(或证实)点到直线的距离公式.
简要思路:
首先规定直线的法向量.设直线 的方程为 , 是 上任意一点,则 的方程可表示为 的形式.由向量内积的概念可知向量 是与直线的方向向量 垂直的向量,我们把 称为直线 的法向量.
其次推导点到直线的距离公式.设 是直线 : 外的一点, 是 上的任一点, 垂直 于 .则所求为 .如图5,不妨l的法向量到 的角为 ,则不论 为锐角还是钝角,
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