不等式的基本性质

欢迎来到论文参考中心,在您阅读前,与您分享:路是脚踏出来的，历史是人写出来的。人的每一步行动都在书写自己的历史。 —— 吉鸿昌
  

不等式的基本性质

    教学目的
    掌握不等式的基本性质,会用不等式的基本性质进行不等式的变形。
    教学过程
    师:我们已学过等式,不等式,现在我们来看两组式子(教师出示小黑板中的两组式子),请同学们观察,哪些是等式?哪些是不等式?
    第一组:1+2=3; a+b=b+a;  S = ab;  4+x = 7.
    第二组:-7 < -5;  3+4 > 1+4;   2x ≤6,  a+2 ≥0; 3≠4.
    生:第一组都是等式,第二组都是不等式。
    师:那么,什么叫做等式?什么叫做不等式?
    生:表示相等关系的式子叫做等式;表示不等式的式子叫做不等式。
    师:在数学炽,我们用等号“=”来表示相等关系,用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系,其中“>”和“<”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。
    前面我们学过了等式,同学们还记得等式的性质吗?
    生:等式有这样的性质:等式两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除以( 除数不为零)同一个数,所得到的仍是等式。
    师:很好!当我们开始研究不等式的时候,自然会联想到,是否有与等式相类似的性质,也就是说,如果在不等式的两边都加上,或都减去,或都乘以,或都除经(除数不为零)同一个数,结果将会如何呢?让我们先做一些试验练习。
    练习1  (回答)用小于号“<”或大于号“>”填空。
    (1)7 ___ 4;    (2)- 2____6;     (3)- 3_____ -2;  (4)- 4_____-6
    练习2(口答)分别从练习1中四个不等式出发,进行下面的运算。
    (1)两边都加上(或都减去)5,结果怎样?不等号的方向改变了吗?
    (2)两边都乘以(或都除以)5,结果怎样?不等号的方向改变了吗?
    (3)两边都乘以(或都除以)(-5),结果怎样?不等号的方向改变了吗?
    生:我们发现:在练习2中,第(1)、(2)题的结果是不等号的方向不变;在第(3)题中,结果是不等号的方向改变了!
    师:同学们观察得很认真,大家再进一步探讨一下,在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢?
    生甲:在原不等式的两边都乘以(或除以)一个负数的情况下,不等号的方向要改变。
    师:有没有不同的意见?大家都同意他的看法吗?可能还有同学不放心,让我们再做一些试验。
    练习3(口答)分别在下面四个不等式的两边都以乘以(可除以)-2,看看不等号的方向是否改变:
    7>4;-2<6;-3<-2;-4>-6。
    师:现在我们可以归纳出不等式的基本性质,一般地说,不等式的基本性质有三条:
    性质1:不等式的两边都加上(或都减去)同一个数,不等号的方向      。
    (让同学回答。)
    性质2:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个正数,不等号的方向     。(让同学回答。)
    性质3:不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数,不等号的方向      。(让同学回答。)
    现在请大家翻开课本,一起朗读用黑体字写的三条基本性质。
    不等式的这三条基本性质,都可以用数学语言表达出来,先请一位同学说一说第一条基本性质。
    生:如果a<b。那么a+c<b+c(或a-c<b-c;如果a>b,那么a+c>b+c(或a-c>b-c)。
    师:对a和b有什么要求吗?对c有什么要求?
    生:没有什么要求。
    师:哪位同学来回答第二、三条性质?
    生甲:如果a<b,且c>0, 那么ac<bc(或     );如果a>b,且c>0,那么ac>bc(或
    生乙:如果a<b,且c<0, 那么ac>bc(或     );如果a>b,且c<0,那么ac<bc(或
    师:这两条性质中,对a、b、c有什么要求?
    生:对a、b没什么要求,特别要注意c是正数还是负数。
    师:很好,c可以为零吗?
    生:c不能为零。因为c为零时,任何不等式两边都乘以零就变成等式了。
    师:好!应用刚才学到的基本性质,我们来看下面的例题。
    [例1]按照下列条件,写出仍能成立的不等式:
    (1)5<9,两边都加上-3;
    (2)9>4,两边都减去10;
    (3)-5<3,两边都乘以4;
    (4)14>-8,两边都除以-2。
    解 (1)根据不等式基本性质1,在不等式59的两边都加上-3,不等号的方向不变,所以
    5+(-3)<9+(-3),
    2<6
    (2)根据不等式基本性质1,得
    9-10>4-10
    -1>-6
    (3)根据不等式基本性质2,得
    -5×4<3×4
    -20<12
    (4)根据不等式基本性质3,得
    14÷(-2)<(-8)÷(-2)
    -7<4
    [例2]设a>b,用不等号连结下列各题中的两式:
    (1)a-3与b-3;(2)2a与2b;(3)-a与-b.
    师:哪一位同学来做这题?解题时,要讲清一步的理由。
    生甲:因为a>b,两边都减去3,由不等式的基本性质1,得
    a-3>b-3.
    师:很好,大家都是这样做的吗?
    生乙:我是这样做的,因为a>b,两边都加上(-3),由基本性质1,得
    a-3>b-3.
    师:好!这两位同学从不同的角度来分析题目,都得到了正确的结论。
    生丙:因为a>b,2>0,由基本性质2,得2a>2b。
    生丁:因为a>b,-1>0,由基本性质3,得-a>-b。
    师:下面我们来看一组较复杂的问题,请大家都来开动脑筋,认真审题,仔细分析。[例3]判断以下各题的结论是否正确,并说明都理由:
    (1)如果a>b,且c>0,那么ac>bd;
    (2)如果a>b,那么ac2>bc2;
    (3)如果ac2>bc2,那么a>b;
    (4) 如果a>b,那么a-b>0;
    (5)如果ax>b,且a≠0,那么x<     ;
    (6)如果a+b>a;
    生甲:(1)不对,当c=d≤0时,ac>bd不成立。
    生乙:(2)也不对,因为c2是一个非负数,当c=0时,ac2>bc2不成立。
    生丙:(3)对,因为ac2>bc2成立,则c2一定大于零,根据不等式基本性质2,得a>b出。
    (4)对,根据不等式基本性质,由a>b,两边减去b得a-b>0。
    (5)不对,当a<0时,根据不等式基本性质3,得 。
    (6)不对,因为当b<0时,根据不等式基本性质1,得a+b<a;而当b=0时,则有a+b=a。
    师:同学们回答得很好。今天我们学习了不等式的基本性质,我们不仅要理解这三条性质,还要能灵活运用。         
    课外做以下作业:略。
    教案说明
    (1)       不等式的基本性质的教学,是分成两个阶段进行的。在初中阶段,对不等式的基本性质,并不作证明,只引导学生用试验的方法,归纳出三条基本性质。通过试验,由特殊到一般,由具体到抽象,这是一种认识事物规律的重要方法。科学上的许多发现,大多离不开试验和观察。大数学家欧拉说过:“数学这门科学,需要观察,也需要试验。”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法,具有重要的意义。当然通过几个特殊的试验,就得出一般的结论,是不严密的。但对初中学生来说,初次接触不等式,是不能要求那么严密的。
    (2)       不等式的基本性质的教学,还应采用对比的方法。学生已学过等式和等式的性质,为了便于和加深对不等式基本性质的理解,在教学过程中,应将不等式的性质与等式的性质加以比较:强调等式的两边都加上或减去,都乘以或除以(除数不能为零)同一个数,所得到的仍是等式,这个数可以是正数、负数或零;而在不等式的两边都加上或减去,都乘以或除以(除数不能为零)同一个数,当这个数是正数、负数或零时,对不等式的方向,有什么不同的影响。通过这样的对比,不但可以复习已学过的等式有关知识,便于引入新课,而且也有利于掌握不等式的基本性质。对比的方法,也是学习数学的一种重要方法。
    (3)       在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时,学生对不等式两边是具体数,判定大小关系比较容易。因为这实际上是有理数大小的比较。对于不等式两边是含字母的代数式时,根据题给的条件,运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向,就比较困难。因为它比较抽象,特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时,学生必须考虑不等式两边同乘(或同除)的这个用字母表示的数的符号是什么,或者还要对这个用字母表示的数,按正数、负数或零三种情况加以讨论。在教学过程中,对于这类题目,采用讨论法是比较好的。因为在讨论时,学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解,教师可以让学生说出解题的依据;对于错误的见解,教师可以进行启发引导,发动学生自己找出错误的原因,自己修正见解。这样,有利于发现问题,有的放矢地解决问题,有利于深化对不等式基本性质的认识。