分式教案
教学目标(一)教学知识点
1.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义,发展符号感.
2.了解分式产生的背景和分式的概念,了解分式与整式概念的区别与联系.
3.掌握分式有意义的条件,认识事物间的联系与制约关系.
(二)能力训练要求
1.能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律,经历对具体问题的探索过程,进一步培养符号感.
2.培养学生认识特殊与一般的辩证关系.
(三)情感与价值观要求
通过丰富的现实情境,使学生在已有数学经验的基础上,了解数学的价值,发展"用数学"的信心.
教学重点
1.了解分式的形式 (A、B是整式),并理解分式概念中的一个特点:分母中含有字母;一个要求:字母的取值限制于使分母的值不得为零.
2.掌握分式基本性质的内容,并有意识地运用它化简分式.
教学难点
1.分式的一个特点:分母含有字母;一个要求:字母的取值限制于使分母的值不能为零.
2.分子分母进行约分.
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片:
第一张:固沙造林,绿化家园,(记作§3.1.1 A);
第二张:做一做,(记作§3.1.1 B);
第三张:议一议,(记作§3.1.1 C);
第四张:例1,(记作§3.1.1 D);
第五张:练一练,(记作§3.1.1 E).
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们先试着解答下面的问题:
出示投影片(§3.1.1 A)
面对日益严重的土地沙化问题,某县决定分期分批固沙造林,一期工程计划在一定期限固沙造林2400公顷,实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷,结果提前4个月完成任务.原计划每月固沙造林多少公顷?
这一问题中有哪些等量关系?
如果原计划每月固沙造林x公顷,那么原计划完成一期工程需要____________个月,实际完成一期工程用了____________个月.
根据题意,可得方程____________.
[生]根据题意,我认为这个问题的等量关系是:实际固沙造林所用的时间+4=原计划固沙造林所用的时间.(1)
[生]这个问题的等量关系也可以是:原计划每月固沙造林的公顷数+30=实际每月固沙造林的公顷数.(2)
[师]这两位同学真棒!在这个问题中,谁能告诉我涉及到哪些基本量呢?它们的关系是什么?
[生]涉及到了三个基本量:工作量、工作效率、工作时间.工作量=工作效率×工作时间.
[师]如果用第(1)个等量关系列方程,应如何设出未知数呢?
[生]因为第(1)个等量关系是工作时间的关系,因此需用已知条件和未知数表示出工作时间.题中的工作量是已知的.因此需设出工作效率即原计划每月固沙造林x公顷.
[师]这种设未知数的方法恰好与投影片(§3.1.1 A)中设未知数的方法相同.下面同学们自己在练习本上回答投影片(§3.1.1 A)中的几个问题.
(教师可巡视同学们回答问题情况).
[生]原计划完成一期工程需 个月,
实际完成一期工程需c 个月,
根据等量关系(1)可列出方程:
+4= .
[师]同学们可接着思考:如何用等量关系(2)设未知数,列方程呢?
[生]因为等量关系(2)是工作效率之间的关系,根据题意,应设出工作时间.不妨设原计划x个月完成一期工程,实际上完成一期工程用了(x-4)个月,那么原计划每月固沙造林的公顷数为 公顷,实际每月固沙造林 公顷,根据题意可得方程 .
[师]同学们观察我们列出的两个方程,有什么新的发现?
[生]我们设出未知数后,用字母表示数的方法,列出几个代数式,表示出我们需要的基本量.如 , , .这些代数式和整式不同.我们虽然列出了方程,但分母中含有字母,要求出它的解,好像很不容易.
[师]的确如此.像 这样的代数式同整式有很大的不同,而且它是以分数的形式出现的,它们是不同于整式的一个很大的家族,我们把它们叫做分式.
从现在开始我们就来研究分式,相信同学们只要去认真了解分式家族中每个成员的特性,不久的将来,一定会很迅速准确解出上面两个方程.
Ⅱ.讲授新课
1.通过实例理解分式的意义及分式与整式的区别.
[师]下面我们再来看几个问题:出示投影片§3.1.1 B
做一做
(1)正n边形的每个内角为__________度.
(2)一箱苹果售价a元,箱子与苹果的总质量为m kg,箱子的质量为n kg,则每千克苹果的售价是多少元?
(3)有两块棉田,有一块x公顷,收棉花m千克,第二块y公顷,收棉花n千克,这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少?
(4)文林书店库存一批图书,其中一种图书的原价是每册a元,现降价x元销售,当这种图书的库存全部售出时,其销售额为b元.降价销售开始时,文林书店这种图书的库存量是多少?
[生](1) ;(2) 元;
(3) 千克;(4) 册
[师]很好!我们再来看投影片(§3.1.1 C)
议一议
上面问题中出现了代数式 ,它们有什么共同特征?它们与整式有什么不同?
(分组讨论后回答)
[生]上面的几个代数式的共同特征:
(1)它们都是由分子、分母与分数线构成;(2)分母中都含有字母.
[生]它们与整式的不同点就在于它们的分母中都含有字母,而整式的分母中不含有字母.例如: 它们都含有分母,但分母中不含字母,所以它们是整式.
[师]同学们能够结合前后知识理解上述代数式,很好!下面我们给出这种代数式即分式的概念:
整式A除以整式B,可以表示成 的形式.如果除式B中含有字母,那么称 为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母.
分式中,字母可以取任意实数吗?
[生]不可以.因为分式中分母含有字母,而分母是除式,不能为零.字母的取值就受到制约即字母的取值不能使分母为零,否则,分式就会无意义.
2.例题讲解
[师]下面我们接着来看投影片(§3.1.1 D)
想一想
(1)下列各式中,哪些是整式?哪些是分式?
5x-7,3x2-1, , ,-5, , , .
(2)①当a=1,2时,分别求分式 的值.
②当a为何值时,分式 有意义?
③当a为何值时,分式 的值为零?
[生](1)中5x-7,3x2-1, ,-5, 是整式; , ,
是分式.
(2)解:①当a=1时, = =1;
当a=2时, = = .
②当分母的值等于零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.
由分母2a=0,得a=0.
所以,当a取零以外的任何实数时,分式 有意义.
③分式的值为零,包含两层意思:首先分式有意义,其次,它的值为零.因此a的取值有两个要求:
所以,当a=-1时,分母不为零,分子为零,分式 为零.
Ⅲ.随堂练习
巩固分式的概念,讨论分式有意义的条件限制.
出示投影片(§3.1.1 E)
1.当x取什么值时,下列分式有意义?
(1) ;(2) ;(3)
分析:当分母的值为零时,分式没有意义,除此以外,分式都有意义.
解:(1)由分母x-1=0,得x=1.
所以,当x取除1以外的任何实数时,分式 都有意义.
(2)由分母x2-9=0,得x=±3.
所以,当x取除3和-3以外的任何实数时,分式 都有意义.
(3)由分母x2+1可知,x取任何实数时,x2是一个非负数,所以x2+1不管x取何实数时,x2+1都不会为零.即x取任何实数, 都有意义.
2.把甲、乙两种饮料按质量比x∶y混合在一起,可以调制成一种混合饮料,调制1 kg这种混合饮料需多少甲种饮料?
解:根据题意,调制1 kg这种混合饮料需 kg甲种饮料.
Ⅳ.课时小结
[师]通过今天的学习,同学们有何收获?(鼓励学生积极回答)
[生]今天,我们认识了代数式里一个新的成员--分式.
[生]我们从实例中发现了分式和整式的不同的地方:分式的分母中含有字母,整式的分母中不含字母,并且还由除式不能为零,即分母不能为零,明白了分式中的字母是有条件约束的,分式中的字母的取值必须保证分母不为零.
[生]……
Ⅴ.课后作业
习题3.1.第1、2、3题.
Ⅵ.活动与探究
已知x= ,求 的值
[过程]直接代入求值,显然很麻烦,由已知 x= ,得2x= +1,2x-1= .
所以(2x-1)2=5,x2-x-1=0即x2=x+1.
我们利用x2=x+1可以使 降次从而求出它的值.
[结果] = = = = =
= = .
板书设计
§3.1.1 分式(一)
一、分式的意义
整式A除以整式B,可以表示成 的形式,如果除式B中含有字母,那么称 为分式.
注:1°对于任意一个分式,分母都不能为零.
2°分式与整式不同的是:分式的分母中含有字母,整式的分母中不含字母.
3°分式的值为零含两层意思:分母不等于零;分子等于零.
二、例题
三、随堂练习
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