拱桥设计教案1
拱桥设计教学目标
(一)教学知识点
1.经历分析和运用所学数学知识设计桥拱的过程,发展应用数学的能力.
2.经历查阅资料或访问专家获得所需知识,制作设计图或制作模型以及撰写研究报告的过程,初步获得科学研究的体验.
(二)能力训练要求
1.通过运用二次函数知识解决拱桥问题,发展学生应用数学解决问题的能力.
2.能够利用二次函数的知识对拱桥的形状进行分析.
(三)情感与价值观要求
1.通过查阅资料,了解桥梁的种类、历史,让学生了解中华民族的文化,对学生进行爱国主义教育.
2.让学生在解决问题的过程中学会与人合作和交流,并在交流的过程中对自己的观点进行有条理地论述.
教学重点
在桥拱抛物线的表达式y=ax2+bx+c中,讨论影响桥拱形状的量有哪些.
教学难点
说明y=ax2+bx+c的系数是如何影响桥拱形状的.
教学方法
学生分组合作交流法.
教具准备
投影片五张
第一张:(记作课题学习A)
第二张:(记作课题学习B)
第三张:(记作课题学习C)
第四张:(记作课题学习D)
第五张:(记作课题学习E)
教学过程
Ⅰ.回忆以前所学知识,提出课题学习的题目
我们已学习了本章的知识--二次函数,如何用所学的知识服务于实际,这才是我们学习数学的根本.二次函数的知识应用很广泛,下面我们一起来研究它在桥梁方面的应用.
Ⅱ.进入课题学习
一、有关桥梁的图片、形状.
[师]上节课我们布置了一个课外作业,就是让大家搜集有关桥梁的图片,现在大家以四个人为一小组,展示你们所搜集到的有关图片.
[A组」投影片:(课题学习A)
这是位于四川省隆昌县境内海拔530米的云顶山上的云顶寨的寨内古桥.
[B组]投影片:(课题学习B)
这是位于四川省江油市北部剑门山区边缘的青林口的一座名为"合益桥"的风雨廊桥,此桥为三孔石拱桥,以厚石板作桥高、桥栏和石阶,是典型的川北建筑风格.
[C组]投影片:(课题学习C)
上图是有名的赵州桥,大家都很熟悉、下图是浙江泰顺的三条桥,三条桥是清代道光二十三年由里人苏某独立重建的.
[D组]投影片:(课题学习D)
上图是绍兴古纤道上的石桥,下图是浙江泰顺泗溪镇的溪东桥,它是泰顺仍留存着的中国乃至世界最美丽的虹桥.
[E组]投影片:(课题学习E)
上图是司前镇的回澜桥,它是三墩四孔的石拱桥,长达85米,下图是三魁镇的永庆桥.
[师]说起桥,大家再熟悉不过了.有木桥、石桥,有钢筋混凝土造的桥,还有钢铁造的桥,还有更奇妙的桥,如水城威尼斯有一座长70米的玻璃桥、美国有一座世界上罕见的纸桥、日本有一座音乐桥,而且桥的形状各异.
拱桥是桥梁家族中的重要一员,拱桥跨度大,造型优美灵活,可雄伟壮观,可小巧玲珑.拱桥的形状可分为圆弧拱桥、抛物线拱桥和悬链线拱桥.本次研究的是抛物线拱桥.
二、例题讲解
卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1∶11000的比例图上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB.如图(一)在比例图上,以直线AB为x轴、抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系:如图(二).
(1)求出图(一)上的这一部分抛物线的图象的函数表达式,写出函数的定义域;
(2)如果DE与AB的距离OM=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长.(备用数据: ≈1.4,结果精确到1米)
解:由图(二)建立直角坐标系,可知C(0,0.9),A(-2.5,0),B(2.5,0).
设函数表达式为y=a(x-2.5)(x+2.5).
∵C(0,0.9)在图象上;
∴0.9=-6.25a.
∴a= .
∴y= (x-2.5)(x+2.5)=- x2+ .
-2.5≤x≤2.5.
(2)∵D、E的纵坐标为 ,
∴ =- x2+ .得x=± .
∴点D的坐标为(- , ),点E的坐标为( , ).
∴DE= -(- )= .
因此卢浦大桥拱内实际桥长为
×11000×0.01=275 ≈385(米).
[师]以上我们学习了一个用二次函数知识解决桥梁问题的例子.从中可借鉴到什么?
[生]因为抛物线是轴对称图形,所以在有关抛物线型桥梁问题中,要适当建立直角坐标系,只要求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标即可,按照上面例题中的方法即可求出抛物线的表达式.
三、讨论y=ax2+bx+c的系数是如何影响桥拱形状的
[师]虽然我们知道二次函数的图象是抛物线,但并不是所有的抛物线都相同,如抛物线的开口程度不同、函数值随自变量的增大而增长的速度不同等.因此我们有必要研究一下二次函数y=ax2+bx+c的系数是如何影响桥拱形状的,从而决定在不同的条件下选用不同形状的抛物线型拱桥.
我们在学习二次函数时,先学习了函数y=ax2;又学习了y=ax2+k的形式;继而学习了y=a(x-h)2的形式;最后学习了y=a(x-h)2+k的形式.我们还知道这些函数的图象形状相同,位置不同.y=ax2+k的图象是由y=ax2的图象上下移动得到的,y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右移动得到的,y=a(x-h)2+k的图象是由y=ax2的图象既左右移动,又上下移动得到的.因此可以判断y=ax2+bx+c的图象是由a决定的.在y=x2与y=2x2的图象中,可知y=x2的图象开口较大,又因为y=-x2和y=-2x2的图象分别与y=x2和y=2x2的图象关于x轴对称,因此开口大小相同,即|a|较大时,图象的开口较小.
不同形状的抛物线型拱桥,即为高度和跨度不同,如下图中的抛物线,以河高为x轴建立直角坐标系.
设抛物线表达式为y=ax2+c(a<0),跨度即为AB的长,AB是抛物线y=ax2+c与x轴两交点之间的距离,高度为OC,所以C(0,c),(c>0),令ax2+c=0,得x1=- ,x2= .所以AB=- .
所以,桥的跨度由a和c决定,桥梁的最高点距河高的距离由c决定.
上面是特殊的形状y=ax2+c(a≠0)与系数间的关系.下面大家自己讨论一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)的形状与a、b、c间的关系.
[生]y=ax2+bx+c=a(x- )2+ .
桥拱的高度由 决定,跨度AB由AB= 决定.
[师]桥拱的形状即由桥的高度和跨度来决定,当然对于特殊的情况还得特殊处理,我们研究的只是一般情形,对于具体问题应具体对待.
Ⅲ.课时小结
这节课我们观赏了许多类型的桥梁,以抛物线型桥梁为主,并举例研究了抛物线型桥梁.还讨论了y=ax2+bx+c(a≠0)的桥拱形状与系数a、b、c之间的关系.
Ⅳ.课后作业
某桥梁建筑公司需在两山之间的峡谷上架设一座公路桥,桥下是一条宽100m的河流,河面距所要架的公路桥桥面的高度是50m.根据各方面条件的分析,专家认为架抛物线型拱桥是最好的选择.
请按照专家的建议,设计一座横跨峡谷的公路桥.
Ⅴ.活动与探究
如下图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面宽AB为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)如图建立直角坐标系,求此抛物线的表达式;
(2)现有一辆载有救援物质的货物从甲地出发需经过此桥开往乙地.已知甲地矩此桥280km(桥长忽略不计),货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知,前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位处在CD处),当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行.试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
答案:(1)y=- x2.
(2)水位由CD处涨到点O的时间为1∶0.25=4(小时).
货车按原来速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280.
所以货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥.
设货车速度提高到x千米/时,当4x+40×1=280时,x=60.
所以要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过60千米/时.
板书设计
拱桥设计(一)
一、1.有关桥梁的图片、形状
2.例题讲解
3.讨论y=ax2+bx+c的系数是如何影响桥拱形状的
二、课时小结
三、课后作业
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