最大面积是多少教案

欢迎来到论文参考中心,在您阅读前,与您分享:路是脚踏出来的，历史是人写出来的。人的每一步行动都在书写自己的历史。 —— 吉鸿昌
  

最大面积是多少教案

    最大面积是多少
    教学目标
    (一)教学知识点
    能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
    (二)能力训练要求
    1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,培养学生的分析判断能力.
    2.通过运用二次函数的知识解决实际问题,培养学生的数学应用能力.
    (三)情感与价值观要求
    1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.
    2.能够对解决问题的基本策略进行反思,形成个人解决问题的风格.
    3.进一步体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心,具有初步的创新精神和实践能力.
    教学重点
    1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.
    2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题.
    教学难点
    能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.
    教学方法
    教师指导学生自学法.
    教具准备
    投影片四张
    第一张:(记作§2.7A)
    第二张:(记作§2.7B)
    第三张:(记作§2.7C)
    第四张:(记作§2.7D)
    教学过程
    Ⅰ.创设问题情境,引入新课
    [师]上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题,知道了求最大利润就是求函数的最大值,实际上就是用二次函数来解决实际问题.解决这类问题的关键是要读懂题目,明确要解决的是什么,分析问题中各个量之间的关系,把问题表示为数学的形式,在此基础上,利用我们所学过的数学知识,就可以一步步地得到问题的解.
    本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题.
    Ⅱ.新课讲解
    一、例题讲解
    投影片:(§2.7A)
    如下图,在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上.
    (1)设长方形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示?
    (2)设长方形的面积为y m2,当x取何值时,y的值最大?最大值是多少?
    [师]分析:(1)要求AD边的长度,即求BC边的长度,而BC是△EBC中的一边,因此可以用三角形相似求出BC.由△EBC∽△EAF,得 即 .所以AD=BC= (40-x).
    (2)要求面积y的最大值,即求函数y=AB·AD=x· (40-x)的最大值,就转化为数学问题了.
    下面请大家讨论写出步骤.
    [生](1)∵BC∥AD,
    ∴△EBC∽△EAF.∴ .
    又AB=x,BE=40-x,
    ∴ .∴BC= (40-x).
    ∴AD=BC= (40-x)=30- x.
    (2)y=AB·AD=x(30- x)=- x2+30x
    =- (x2-40x+400-400)
    =- (x2-40x+400)+300
    =- (x-20)2+300.
    当x=20时,y最大=300.
    即当x取20m时,y的值最大,最大值是300m2.
    [师]很好.刚才我们先进行了分析,要求面积就需要求矩形的两条边,把这两条边分别用含x的代数式表示出来,代入面积公式就能转化为数学问题了,大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗?
    [生]不很难.
    [师]下面我们换一个条件,看看大家能否解决.设AD边的长为x m,则问题会怎样呢?与同伴交流.
    [生]要求面积需求AB的边长,而AB=DC,所以需要求DC的长度,而DC是△FDC中的一边,所以可以利用三角形相似来求.
    解:∵DC∥AB,
    ∴△FDC∽△FAE.
    ∴ .
    ∵AD=x,FD=30-x.
    ∴ .
    ∴DC= (30-x).
    ∴AB=DC= (30-x).
    y=AB·AD=x· (30-x)
    =- x2+40x
    =- (x2-30x+225-225)
    =- (x-15)2+300.
    当x=15时,y最大=300.
    即当AD的长为15m时,长方形的面积最大,最大面积是300m2.
    二、做一做
    投影片:(§2.7B)
    某建筑物的窗户如下图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
    [师]通过刚才的练习,这个问题自己来解决好吗?
    [生]可以.
    分析:x为半圆的半径,也是矩形的较长边,因此x与半圆面积和矩形面积都有关系.要求透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆的面积之和最大,即2xy+ x2最大,而由于4y+4x+3x+πx=7x+4y+πx=15,所以y= .面积S= πx2+2xy= πx2+2x· = πx2+ =-3.5x2+7.5x,这时已经转化为数学问题即二次函数了,只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可.
    解:∵7x+4y+πx=15,
    ∴y= .
    设窗户的面积是S(m2),则
    S= πx2+2xy
    = πx2+2x·
    = πx2+
    =-3.5x2+7.5x
    =-3.5(x2- x)
    =-3.5(x- )2+ .
    ∴当x= ≈1.07时,
    S最大= ≈4.02.
    即当x≈1.07m时,S最大≈4.02m2,此时,窗户通过的光线最多.
    [师]大家做得非常棒.
    三、议一议
    [师]我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子,现在大家能否根据前面的例子作一下总结,解决此类问题的基本思路是什么呢?与同伴进行交流.
    [生]首先是理解题目,然后是分析已知量与未知量,转化为数学问题.
    [师]看来大家确实学会了用数学知识解决实际问题,基本思想如下:
    投影片:(§2.7C)
    解决此类问题的基本思路是:
    (1)理解问题;
    (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;
    (3)用数学的方式表示它们之间的关系;
    (4)做函数求解;
    (5)检验结果的合理性,拓展等.
    在总结思路之前,大家已经做得相当出色了,相信以后会更上一层楼的.
    Ⅲ.课堂练习
    投影片:(§2.7D)
    1.一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙(如下图)围成一个长方形鸡舍,怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大?最大为多少?
    解:设AB长为x m,则BC长为(116-2x)m,长方形面积为S m2,根据题意得
    S=x(116-2x)=-2x2+116x=-2(x2-58x+292-292)=-2(x-29)2+1682.
    当x=29时,S有最大值1682,这时116-2x=58.
    即设计成长为58m,宽为29m的长方形时,能使围成的长方形鸡舍的面积最大,最大面积为1682m2.
    Ⅳ.课时小结
    本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题,增强了应用意识,获得了利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值.
    Ⅴ.课后作业
    习题2.8
    Ⅵ.活动与探究
    已知矩形的长大于宽的2倍,周长为12,从它的一个顶点作一条射线,将矩形分成一个三角形和一个梯形,且这条射线与矩形的一边所成的角的正切值等于 .设梯形的面积为S,梯形中较短的底边长为x,试写出梯形面积关于x的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
    分析:因为射线与矩形一边所成的角的正切值等于 ,但没有说明射线与矩形的哪一边所成角的正切值,故本题应考虑两种情况,如下图:
    板书设计
    §2.7  最大面积是多少
    一、1.例题讲解(投影片§2.7A)
    2.做一做(投影片§2.7B)
    3.议一议(投影片§2.7C)
    二、课堂练习(投影片§2.7D)
    三、课时小结
    四、课后作业