函数的单调性与极值教案

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函数的单调性与极值教案

    目的要求
    1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法.
    2.弄清函数极值与最值的区别与联系.
    3.养成“整体思维”的习惯,提高应用知识解决实际问题的能力.
    内容分析
    1.教科书结合函数图象,直观地指出函数最大值、最小值的概念,从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法.
    2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的,是局部的.
    3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a,b]上有定义,是为了保证函数在[a,b]内有最大值和最小值;在(a,b)内可导,是为了能用求导的方法求解.
    4.求函数最大值和最小值,先确定函数的极大值和极小值,然后,再比较函数在区间两端的函数值,因此,用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键.
    5.有关函数最值的实际应用问题的教学,是本节内容的难点.教学时,必须引导学生确定正确的数学建模思想,分析实际问题中各变量之间的关系,给出自变量与因变量的函数关系式,同时确定函数自变量的实际意义,找出取值范围,确保解题的正确性.从此,在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法——求导法.依教学大纲规定,有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数,而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数.
    教学过程
    1.复习函数极值的一般求法
    ①学生复述求函数极值的三个步骤.
    ②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题.
    2.提出问题(用字幕打出)
    ①在教科书中的(图2-11)中,哪些点是极大值点?哪些点是极小值点?
    ②x=a、x=b是不是极值点?
    ③在区间[a,b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?
    ④一般地,设y=f(x)是定义在[a,b]上的函数,且在(a,b)内有导数.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值,你认为应通过什么方法去求解?
    3.分组讨论,回答问题
    ①学生回答:f(x2)是极大值,f(x1)与f(x3)都是极小值.
    ②依照极值点的定义讨论得出:f(a)、f(b)不是函数y=f(x)的极值.
    ③直观地从函数图象中看出:f(x3)是最小值,f(b)是最大值.
    (教师在回答完问题①②③之后,再提问:如果在没有给出函数图象的情况下,怎样才能判断出f(x3)是最小值,而f(b)是最大值呢?)
    ④与学生共同讨论,得出求函数最值的一般方法:
    i)求y=f(x)在(a,b)内的极值(极大值与极小值);
    ii)将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
    4.分析讲解例题
    例4  求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.
    板书讲解,巩固求函数最值的求导法的两个步骤,同时复习求函数极值的一般求法.
    例5  用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖小箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(教科书中图2-13).问水箱底边的长取多少时,水箱容积最大,最大容积为多少?
    用多媒体课件讲解:
    ①用课件展示题目与水箱的制作过程.
    ②分析变量与变量的关系,确定建模思想,列出函数关系式V=f(x),x∈D.
    ③解决V=f(x),x∈D求最值问题的方法(高次函数的最值,一般采用求导的方法,提醒学生注意自变量的实际意义).
    ④用“几何画板”平台验证答案.
    5.强化训练
    演板P68练习
    6.归纳小结
    ①求函数最大值与最小值的两个步骤.
    ②解决最值应用题的一般思路.
    布置作业
    教科书习题2.5第4题、第5题、第6题、第7题.