一元二次方程实数根错例剖析课 —— 初中数学第四册教案

一元二次方程实数根错例剖析课 —— 初中数学第四册教案

课题：一元二次方程实数根错例剖析课

【教学目的】  精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于x的方程ax²+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当 a_____时，方程为一元二次方程。

2、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。

【典型例题】               

例1   下列方程中两实数根之和为2的方程是（）

(A)   x²+2x+3＝0     (B) x²-2x+3＝0    (c)  x²-2x-3＝0      (D)  x²+2x+3＝0

错答： B

正解： C

错因剖析：由根与系数的关系得x₁+x₂＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。

例2   若关于x的方程x²+2(k+2)x+k²＝0  两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（     ）

(A)   k＞-1     (B)  k＜0    (c) -1＜ k＜0    (D) -1≤k＜0

错解 ：B

正解：D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

例3（2000广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x²-2 x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

错解: 由△＝(-2 )²-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得  k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

围是 -1≤k＜2

错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝ 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解： -1≤k＜2且k≠

例4             （2002山东太原中考题） 已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²+1＝0的两个实数根，当x₁²+x₂²=15时，求m的值。

错解：由根与系数的关系得

       x₁+x₂＝ -（2m+1）,    x₁x₂＝m²+1,

      ∵x₁²+x₂²＝(x₁+x₂)²-2 x₁x₂

             ＝[-（2m+1）]²-2（m²+1）

             ＝2 m²+4 m-1

      又∵ x₁²+x₂²=15

      ∴ 2 m²+4 m-1=15

      ∴ m₁ ＝ -4   m₂ ＝ 2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m ＝ -4时，方程为x²-7x+17＝0，此时△＝（-7）²-4×17×1＝  -19＜0，方程无实数根，不符合题意。

正解：m ＝ 2

例5   若关于 x的方程(m²-1)x²-2 (m+2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围。

错解：△＝[-2(m+2)]²-4(m²-1) ＝16 m+20

     ∵ △≥0

     ∴ 16 m+20≥0，

     ∴ m≥ -5/4

   又 ∵ m²-1≠0，

     ∴  m≠±1

     ∴ m的取值范围是m≠±1且m≥ -

错因剖析：此题只说(m²-1)x²-2 (m+2)x+1＝0是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m²-1＝0和m²-1≠0两种情况。当m²-1＝0时，即m＝±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。

正解：m的取值范围是m≥-  

例6  已知二次方程x²+3 x+a＝0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。

错解：∵方程有整数根，

∴△＝9-4a＞0，则a＜2.25

又∵a是非负数，∴a＝1或a＝2

令a＝1，则x＝ -3± ，舍去；令a＝2，则x₁＝ -1、 x₂＝ -2

∴方程的整数根是x₁＝ -1， x₂＝ -2

错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a＝0时，还可以求出方程的另两个整数根，x₃＝0， x₄＝ -3

正解：方程的整数根是x₁＝ -1， x₂＝ -2 ，  x₃＝0， x₄＝ -3

【练习】

练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k²x²+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。

解：（1）根据题意，得△＝(2k-1)²-4 k²＞0      解得k＜

∴当k＜ 时，方程有两个不相等的实数根。

（2）存在。如果方程的两实数根x₁、x₂互为相反数，则x₁+ x₂= - =0，

 解得k＝ 。经检验k＝ 是方程- 的解。

∴当k＝ 时，方程的两实数根x₁、x₂互为相反数。

读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。

解：上面解法错在如下两个方面：

（1）漏掉k≠0，正确答案为：当k＜ 时且k≠0时，方程有两个不相等的实数根。

（2）k＝ 。不满足△＞0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数

练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax²+4x-1＝0只有正实数根 ?

解：（1）当a＝0时，方程为4x-1＝0，∴x＝

（2）当a≠0时，∵△＝16+4a≥0   ∴a≥ -4

∴当a≥ -4且a≠0时，方程有实数根。

又因为方程只有正实数根，设为x₁，x₂，则：

x₁+x₂＝- ＞0 ；

x₁. x₂＝- ＞0      解得 ：a＜0

综上所述，当a＝0、a≥ -4、a＜0时，即当-4≤a≤0时，原方程只有正实数根。

【小结】 以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。

2、运用根与系数关系时，△≥0是前提条件。

3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。

【布置作业】  

1、当m为何值时，关于x的方程x²+2（m-1）x+ m²-9＝0有两个正根？

2、已知，关于x的方程mx²-2（m+2）x+ m+5＝0（m≠0）没有实数根。求证：关于x的方程

（m-5）x²-2（m+2）x + m＝0一定有一个或两个实数根。

考题汇编

1、（2000年广东省中考题）设x₁、 x₂是方程x²-5x+3＝0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x₁-x₂）²的值。

2、（2001年广东省中考题）已知关于x的方程x^2-2x+m-1＝0

（1）若方程的一个根为1，求m的值。

（2）m＝5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。

3、（2002年广东省中考题）已知关于x的方程x²+2（m-2）x+ m²＝0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。

4、（2003年广东省中考题）已知x₁、x₂为方程x²+px+q＝0的两个根，且x₁+x₂＝6，x₁²+x₂²＝20，求p和q的值。

课题：一元二次方程实数根错例剖析课

【教学目的】  精选学生在解一元二次方程有关问题时出现的典型错例加以剖析，帮助学生找出产生错误的原因和纠正错误的方法，使学生在解题时少犯错误，从而培养学生思维的批判性和深刻性。

【课前练习】

1、关于x的方程ax²+bx+c=0，当a_____时，方程为一元一次方程；当 a_____时，方程为一元二次方程。

2、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=_______，当△_______时，方程有两个相等的实数根，当△_______时，方程有两个不相等的实数根，当△________时，方程没有实数根。

【典型例题】               

例1   下列方程中两实数根之和为2的方程是（）

(A)   x²+2x+3＝0     (B) x²-2x+3＝0    (c)  x²-2x-3＝0      (D)  x²+2x+3＝0

错答： B

正解： C

错因剖析：由根与系数的关系得x₁+x₂＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。

例2   若关于x的方程x²+2(k+2)x+k²＝0  两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（     ）

(A)   k＞-1     (B)  k＜0    (c) -1＜ k＜0    (D) -1≤k＜0

错解 ：B

正解：D

错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

例3（2000广西中考题） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x²-2 x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

错解: 由△＝(-2 )²-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得  k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范

围是 -1≤k＜2

错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝ 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

正解： -1≤k＜2且k≠

例4             （2002山东太原中考题） 已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²+1＝0的两个实数根，当x₁²+x₂²=15时，求m的值。

错解：由根与系数的关系得

       x₁+x₂＝ -（2m+1）,    x₁x₂＝m²+1,

      ∵x₁²+x₂²＝(x₁+x₂)²-2 x₁x₂

             ＝[-（2m+1）]²-2（m²+1）

             ＝2 m²+4 m-1

      又∵ x₁²+x₂²=15

      ∴ 2 m²+4 m-1=15

      ∴ m₁ ＝ -4   m₂ ＝ 2

错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m ＝ -4时，方程为x²-7x+17＝0，此时△＝（-7）²-4×17×1＝  -19＜0，方程无实数根，不符合题意。

正解：m ＝ 2

例5   若关于 x的方程(m²-1)x²-2 (m+2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围。

错解：△＝[-2(m+2)]²-4(m²-1) ＝16 m+20

     ∵ △≥0

     ∴ 16 m+20≥0，

     ∴ m≥ -5/4

   又 ∵ m²-1≠0，

     ∴  m≠±1

     ∴ m的取值范围是m≠±1且m≥ -

错因剖析：此题只说(m²-1)x²-2 (m+2)x+1＝0是关于未知数x的方程，而未限定方程的次数，所以在解题时就必须考虑m²-1＝0和m²-1≠0两种情况。当m²-1＝0时，即m＝±1时，方程变为一元一次方程，仍有实数根。

正解：m的取值范围是m≥-  

例6  已知二次方程x²+3 x+a＝0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。

错解：∵方程有整数根，

∴△＝9-4a＞0，则a＜2.25

又∵a是非负数，∴a＝1或a＝2

令a＝1，则x＝ -3± ，舍去；令a＝2，则x₁＝ -1、 x₂＝ -2

∴方程的整数根是x₁＝ -1， x₂＝ -2

错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a＝0时，还可以求出方程的另两个整数根，x₃＝0， x₄＝ -3

正解：方程的整数根是x₁＝ -1， x₂＝ -2 ，  x₃＝0， x₄＝ -3

【练习】

练习1、（01济南中考题）已知关于x的方程k²x²+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂。（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由。

解：（1）根据题意，得△＝(2k-1)²-4 k²＞0      解得k＜

∴当k＜ 时，方程有两个不相等的实数根。

（2）存在。如果方程的两实数根x₁、x₂互为相反数，则x₁+ x₂= - =0，

 解得k＝ 。经检验k＝ 是方程- 的解。

∴当k＝ 时，方程的两实数根x₁、x₂互为相反数。

读了上面的解题过程，请判断是否有错误？如果有，请指出错误之处，并直接写出正确答案。

解：上面解法错在如下两个方面：

（1）漏掉k≠0，正确答案为：当k＜ 时且k≠0时，方程有两个不相等的实数根。

（2）k＝ 。不满足△＞0，正确答案为：不存在实数k，使方程的两实数根互为相反数

练习2（02广州市）当a取什么值时，关于未知数x的方程ax²+4x-1＝0只有正实数根 ?

解：（1）当a＝0时，方程为4x-1＝0，∴x＝

（2）当a≠0时，∵△＝16+4a≥0   ∴a≥ -4

∴当a≥ -4且a≠0时，方程有实数根。

又因为方程只有正实数根，设为x₁，x₂，则：

x₁+x₂＝- ＞0 ；

x₁. x₂＝- ＞0      解得 ：a＜0

综上所述，当a＝0、a≥ -4、a＜0时，即当-4≤a≤0时，原方程只有正实数根。

【小结】 以上数例，说明我们在求解有关二次方程的问题时，往往急于寻求结论而忽视了实数根的存在与“△”之间的关系。

1、运用根的判别式时，若二次项系数为字母，要注意字母不为零的条件。

2、运用根与系数关系时，△≥0是前提条件。

3、条件多面时（如例5、例6）考虑要周全。

【布置作业】  

1、当m为何值时，关于x的方程x²+2（m-1）x+ m²-9＝0有两个正根？

2、已知，关于x的方程mx²-2（m+2）x+ m+5＝0（m≠0）没有实数根。求证：关于x的方程

（m-5）x²-2（m+2）x + m＝0一定有一个或两个实数根。

考题汇编

1、（2000年广东省中考题）设x₁、 x₂是方程x²-5x+3＝0的两个根，不解方程，利用根与系数的关系，求（x₁-x₂）²的值。

2、（2001年广东省中考题）已知关于x的方程x^2-2x+m-1＝0

（1）若方程的一个根为1，求m的值。

（2）m＝5时，原方程是否有实数根，如果有，求出它的实数根；如果没有，请说明理由。

3、（2002年广东省中考题）已知关于x的方程x²+2（m-2）x+ m²＝0有两个实数根，且两根的平方和比两根的积大33，求m的值。

4、（2003年广东省中考题）已知x₁、x₂为方程x²+px+q＝0的两个根，且x₁+x₂＝6，x₁²+x₂²＝20，求p和q的值。