分式方程教案1
教学目标(一)教学知识点
1.解分式方程的一般步骤.
2.了解解分式方程验根的必要性.
(二)能力训练要求
1.通过具体例子,让学生独立探索方程的解法,经历和体会解分式方程的必要步骤.
2.使学生进一步了解数学思想中的"转化"思想,认识到能将分式方程转化为整式方程,从而找到解分式方程的途径.
(三)情感与价值观要求
1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯,培养严谨的治学态度.
2.运用"转化"的思想,将分式方程转化为整式方程,从而获得一种成就感和学习数学的自信.
教学重点
1.解分式方程的一般步骤,熟练掌握分式方程的解决.
2.明确解分式方程验根的必要性.
教学难点
明确分式方程验根的必要性.
教学方法
探索发现法
学生在教师的引导下,探索分式方程是如何转化为整式方程,并发现解分式方程验根的必要性.
教具准备
投影片四张
第一张:例1、例2,(记作§3.4.2 A)
第二张:议一议,(记作§3.4.2 B)
第三张:想一想,(记作§3.4.2 C)
第四张:补充练习,(记作§3.4.2 D).
教学过程
Ⅰ.提出问题,引入新课
[师]在上节课的几个问题,我们根据题意将具体实际的情境,转化成了数学模型--分式方程.但要使问题得到真正的解决,则必须设法解出所列的分式方程.
这节课,我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法,也许你会从中得到启示,寻找到解分式方程的方法.
解方程 + =2-
[师生共解](1)去分母,方程两边同乘以分母的最小公倍数6,得
3(3x-1)+2(5x+2)=6×2-(4x-2).
(2)去括号,得9x-3+10x+4=12-4x+2,
(3)移项,得9x+10x+4x=12+2+3-4,
(4)合并同类项,得23x=13,
(5)使x的系数化为1,两边同除以23,x= .
Ⅱ.讲解新课,探索分式方程的解法
[师]刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.(出示投影片§3.4.2 A)
[例1]解方程: = . (1)
[生]解这个方程,能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢?
[师]同学们说他的想法可取吗?
[生]可取.
[师]同学们可以接着讨论,方程两边同乘以什么样的整式(或数),可以去掉分母呢?
[生]乘以分式方程中所有分母的公分母.
[生]解一元一次方程,去分母时,方程两边同乘以分母的最小公倍数,比较简单.解分式方程时,我认为方程两边同乘以分母的最简公分母,去分母也比较简单.
[师]我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢?
[生]x(x-2).
[师生共析]方程两边同乘以x(x-2),得x(x-2)· =x(x-2)· ,
化简,得x=3(x-2). (2)
我们可以发现,采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程,而且是我们曾学过的一元一次方程.
[生]再往下解,我们就可以像解一元一次方程一样,解出x.即x=3x-6(去括号)
2x=6(移项,合并同类项).
x=3(x的系数化为1).
[师]x=3是方程(2)的解吗?是方程(1)的解吗?为什么?同学们可以在小组内讨论.
(教师可参与到学生的讨论中,倾听学生的说法)
[生]x=3是由一元一次方程x=3(x-2) (2)解出来的,x=3一定是方程(2)的解.但是不是原分式方程(1)的解,需要检验.把x=3代入方程(1)的左边= =1,右边= =1,左边=右边,所以x=3是方程(1)的解.
[师]同学们表现得都很棒!相信同学们也能用同样的方法解出例2.
[例2]解方程: - =4
(由学生在练习本上试着完成,然后再共同解答)
解:方程两边同乘以2x,得
600-480=8x
解这个方程,得x=15
检验:将x=15代入原方程,得
左边=4,右边=4,左边=右边,所以x=15是原方程的根.
[师]很好!同学们现在不仅解出了分式方程的解,还有了检验结果的好习惯.
我这里还有一个题,我们再来一起解决一下(出示投影片 §3.4.2 B)(先隐藏小亮的解法)
议一议
解方程 = -2.
(可让学生在练习本上完成,发现有和小亮同样解法的同学,可用实物投影仪显示他的解法,并一块分析)
[师]我们来看小亮同学的解法: = -2
解:方程两边同乘以x-3,得2-x=-1-2(x-3)
解这个方程,得x=3.
[生]小亮解完没检验x=3是不是原方程的解.
[师]检验的结果如何呢?
[生]把x=3代入原方程中,使方程的分母x-3和3-x都为零,即x=3时,方程中的分式无意义,因此x=3不是原方程的根.
[师]它是去分母后得到的整式方程的根吗?
[生]x=3是去分母后的整式方程的根.
[师]为什么x=3是整式方程的根,它使得最简公分母为零,而不是原分式方程的根呢?同学们可在小组内讨论.
(教师可参与到学生的讨论中,倾听同学们的想法)
[生]在解分式方程时,我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零,那么它就相当于分式方程两边都乘以零,不符合等式变形时的两个基本性质,得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零,也就不适合原方程了.
[师]很好!分析得很透彻,我们把这样的不适合原方程的整式方程的根,叫原方程的增根.
在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么,是不是就不要这样解?或采用什么方法补救?
[生]还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.
[师]怎样检验较简单呢?还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗?
[生]不用,产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是:把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零,则是原方程的增根;若使最简公分母不为零,则是原方程的根.是增根,必舍去.
[师]在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质,解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时,解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.
Ⅲ.应用,升华
1.解方程:
(1) = ;(2) + =2.
[分析]先总结解分式方程的几个步骤,然后解题.
解:(1) =
去分母,方程两边同乘以x(x-1),得
3x=4(x-1)
解这个方程,得x=4
检验:把x=4代入x(x-1)=4×3=12≠0,
所以原方程的根为x=4.
(2) + =2
去分母,方程两边同乘以(2x-1),得
10-5=2(2x-1)
解这个方程,得x=
检验:把x= 代入原方程分母2x-1=2× -1= ≠0.
所以原方程的根为x= .
2.回顾,总结
出示投影片(§3.4.2 C)
想一想
解分式方程一般需要经过哪几个步骤?
[师]同学们可根据例题和练习题的步骤,讨论总结.
[生]解分式方程分三大步骤:(1)方程两边都乘以最简公分母,约去分母,化分式方程为整式方程;
(2)解这个整式方程;
(3)把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.
3.补充练习
出示投影片(§3.4.2 D)
解分式方程:
(1) = ;
(2) = (a,h常数)
[分析]强调解分式方程的三个步骤:一去分母;二解整式方程;三验根.
解:(1)去分母,方程两边同时乘以x(x+3000),得9000(x+3000)=15000x
解这个整式方程,得x=4500
检验:把x=4500代入x(x+3000)≠0.
所以原方程的根为4500
(2) = (a,h是常数且都大于零)
去分母,方程两边同乘以2x(a-x),得
h(a-x)=2ax
解整式方程,得x= (2a+h≠0)
检验:把x= 代入原方程中,最简公分母2x(a-x)≠0,所以原方程的根为
x= .
Ⅳ.课时小结
[师]同学们这节课的表现很活跃,一定收获不小.
[生]我们学会了解分式方程,明白了解分式方程的三个步骤缺一不可.
[生]我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.
[生]我又一次体验到了"转化"在学习数学中的重要作用,但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么"完美",必须经过检验,反思"转化"过程.
……
Ⅴ.课后作业
习题3.7
Ⅵ.活动与探究
若关于x的方程 = 有增根,则m的值是____________.
[过程]首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根,但却使最简公分母为零.
[结果]关于x的方程 = 有增根,则此增根必使3x-9=3(x-3)=0,所以增根为x=3.去分母,方程两边同乘以3(x-3),得3(x-1)=m2.
根据题意,得x=3是上面整式方程的根,
所以3(3-1)=m2,则m=± .
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