反比例函数的图象与性质教案2
教学目标(一)教学知识点
1.进一步巩固作反比例函数的图象.
2.逐步提高从函数图象中获取信息的能力,探索并掌握反比例函数的主要性质.
(二)能力训练要求
1.通过画反比例函数图象,训练学生的作图能力.
2.通过从图象中获取信息,训练学生的识图能力.
3.通过对图象性质的研究,训练学生的探索能力和语言组织能力.
(三)情感与价值观要求
让学生积极投身于数学学习活动中,有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论,不仅使他们记忆犹新,还能建立自信心.由学生自己思考再经过合作交流完成的数学活动,不仅能使学生学到知识,还能使他们互相增进友谊.
教学重点
通过观察图象,归纳概括反比例函数图象的共同特征,探索反比例函数的主要性质.
教学难点
从反比例函数的图象中归纳总结反比例函数的主要性质.
教学方法
教师引导学生类推归纳概括学习法.
教具准备
投影片三张
第一张:(记作§5.2.2A)
第二张:(记作§5.2.2B)
第三张:(记作§5.2.2C)
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]上节课我们学习了画反比例函数的图象,并通过图象总结出当k>0时,函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内;当k<0时,函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内.并讨论了反比例函数y= 与y= 的图象的异同点.这是从函数的图象位于哪些象限来研究了反比例函数的.
我们知道在学习正比例函数和一次函数图象时,还研究了当k>0时,y的值随x的增大而增大,当k<0时,y的值随x值的增大而减小,即函数值随自变量的变化而变化的情况,以及函数图象与x轴,y轴的交点坐标.本节课我们来研究一下反比例函数的有关性质.
Ⅱ.新课讲解
1.做一做
[师]观察反比例函数y= ,y= ,y= 的形式,它们有什么共同点?
[生]表达式中的k都是大于零的.
[师]大家的观察能力非同一般呐!下面再用你们的慧眼观察它们的图象,总结它们的共同特征.
投影片:(§5.2.2A)
(1)函数图象分别位于哪几个象限?
(2)在每一个象限内,随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗?
(3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗?为什么?
[师]请大家先独立思考,再互相交流得出结论.
[生](1)函数图象分别位于第一、三象限内.
(2)从图象的变化趋势来看,当自变量x逐渐增大时,函数值y逐渐减小.
(3)因为图象在逐渐接近x轴,y轴,所以当自变量取很小或很大的数时,图象能与x轴、y轴相交.
[师]大家同意他的观点吗?
[生]不同意(3)中的观点.
[师]能解释一下你的观点吗?
[生]从关系式y= 中看,因为x≠0,所以图象与y轴不可能有交点;因为不论x取任何实数,2是常数,y= 永远也不为0,所以图象与x轴也不可能有交点.
[师]对于(1)和(3)我不需要再说什么了,因为大家都回答的非常棒,不过我再补充一下(2).观察函数y= 的图象,在第一象限任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),分别向x轴,y轴作垂线.找到对应的x1,x2,y1,y2,因为在坐标轴上能比较出x1与x2,y1与y2的大小,所以就可判断函数值的变化随自变量的变化是如何变化的.由图可知x1<x2,y2<y1,所以在第一象限内有y随x的增大而减小.
同理可知在其他象限内y随x的增大而如何变化.大家可以分组验证上图中的其他五种情况.
[生]情况都一样.
[师]能不能总结一下.
[生]当k>0时,函数图象分别位于第一、三象限内,并且在每一个象限内,y随x的增大而减小.
2.议一议
[师]刚才我们研究了y= ,y= ,y= 的图象的性质,下面用类推的方法来研究y= ,y= ,y= 的图象有哪些共同特征?
投影片:(§5.2.2B)
[生](1)y= ,y= ,y= 中的k都小于0,它们的图象都位于第二,四象限,所以当k<0时,反比例函数的图象位于第二、四象限内.
(2)在图象y= 中,在第二象限内任取两点A(x1,y1),B(x2,y2),可知x1>x2,y1>y2,所以可以得出当自变量逐渐减小时,函数值也逐渐减小,即函数值y随自变量x的增大而增大.
(3)这些反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交.
[师]通过我们刚才的讨论,可以得出如下结论:
反比例函数y= 的图象,当k>0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小;当k<0时,在每一象限内,y的值随x值的增大而增大.
3.想一想
投影片:(§5.2.2C)
(1)在一个反比例函数图象上任取两点P、Q,过点Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2,S1与S2有什么关系?为什么?
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图象重合吗?
[师]在下面的图象上进行探讨.
[生]设P(x1,y1),过P点分别作x轴,y轴的平行线,与两坐标轴围成的矩形面积为S1,则S1=|x1|·|y1|=|x1y1|.
∵(x1,y1)在反比例函数y= 图象上,所以y1= ,即x1y1=k.
∴S1=|k|.
同理可知S2=|k|,
所以S1=S2.
[师]从上面的图中可以看出,P、Q两点在同一支曲线上,如果P,Q分别在不同的曲线上,情况又怎样呢?
[生]S1=|x1y1|=|k|,
S2=|x2y2|=|k|.
[师]因此只要是在同一个反比例函数图象上任取两点P、Q,不管P、Q是在同一支曲线上,还是在不同的曲线上.过P、Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2,则有S1=S2.
(2)将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图象重合,这个问题在上节课中我们已做过研究.
Ⅲ.课堂练习
P137
Ⅳ.课时小结
本节课学习了如下内容.
1.反比例函数y= 的图象,当k>0时,在第一、三象限内,在每一象限内,y的值随x值的增大而减小;当k<0时,图象在第二、四象限内,y的值随x值的增大而增大.
2.在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,分别过P,Q作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2,则有S1=S2.
3.将反比例函数的图象绕原点旋转180°后,能与原来的图形重合,即反比例函数是中心对称图形.
4.反比例函数的图象既不能与x轴相交也不能与y轴相交.但是当x的值越来越接近于0时,y的值将逐渐变得很大;反之,y的值将逐渐接近于0.因此,图象的两个分支无限接近x轴和y轴,但永远不会与x轴和y轴相交.
Ⅴ.课后作业
习题5.3
Ⅵ.活动与探究
反比例函数图象与三等分角
历史上,曾有人把三等分角问题归结为下面的作图问题.
任取一锐角∠POH,过点P作OH的平行线,过点O作直线,两线相交于点M,OM交PH于点Q,并使QM=2OP,设N为QM的中点.
∵NP=NM=OP,∴∠1=∠2=2∠3.
∵∠4=∠3,∴∠1=2∠4.
∴∠MOH= ∠POH.
问题在于,如何确定线段QM两端点的位置,并且保证O,Q,M在同一条直线上?事实上,用尺规作图无法解决这一问题.那么,退而求其次,能不能借助一些特殊曲线解决这一问题呢?
帕普斯(Pappus,公元300前后)给出的一种方法是:如下图,将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,角的一边OA与y= 的图象交于点P,以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M,连接OM得到∠MOB.
(1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上?
(2)你能说明∠MOB= ∠AOB的理由吗?
(3)当给定的已知角是钝角或直角时,怎么办?
解:(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1, ),R(a2, ),则Q(a1, ),M(a2, ).
设直线OM的关系式为y=kx.
∵当x=a2时,y=
∴ =ka2.∴k= .∴y= x.
∴Q(a1, )在直线OM上.
(2)∵四边形PQRM是矩形.
∴PC= PR=CM.∴∠2=2∠3.
∵PC=OP,∴∠1=∠2,
∵∠3=∠4,∴∠1=2∠4,
即∠MOB= ∠AOB.
(3)当给定的已知角是钝角或直角时,钝角或直角的一半是锐角,该锐角可以用此方法三等分.
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