三角函数三角恒等变换与解三角形
1.⑴角度制与弧度制的互化: 弧度 , 弧度, 弧度⑵弧长公式: ;扇形面积公式: 。
2.三角函数定义:角 中边上任意一点 为 ,设 则:
3.三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦;
4.诱导公式记忆规律:"函数名不(改)变,符号看象限";
5.⑴ 对称轴: ;对称中心: ;
⑵ 对称轴: ;对称中心: ;
6.同角三角函数的基本关系: ;
7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①
② ③ 。
8.二倍角公式:① ;
② ;③ 。
9.正、余弦定理⑴正弦定理 ( 是 外接圆直径)
注:① ;② ;③ 。
⑵余弦定理: 等三个;注: 等三个。
10。几个公式:⑴三角形面积公式: ;
⑵内切圆半径r= ;外接圆直径2R=
11.已知 时三角形解的个数的判定:
第四部分 立体几何
1.三视图与直观图:注:原图形与直观图面积之比为 。
2.表(侧)面积与体积公式:
⑴柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②侧面积:S侧= ;③体积:V=S底h
⑵锥体:①表面积:S=S侧+S底;②侧面积:S侧= ;③体积:V= S底h:
⑶台体:①表面积:S=S侧+S上底S下底;②侧面积:S侧= ;③体积:V= (S+ )h;⑷球体:①表面积:S= ;②体积:V= 。
3.位置关系的证明(主要方法):
⑴直线与直线平行:①公理4;②线面平行的性质定理;③面面平行的性质定理。
⑵直线与平面平行:①线面平行的判定定理;②面面平行 线面平行。
⑶平面与平面平行:①面面平行的判定定理及推论;②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直:①直线与平面垂直的判定定理;②面面垂直的性质定理。
⑸平面与平面垂直:①定义---两平面所成二面角为直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科还可用向量法。
4.求角:(步骤-------Ⅰ。找或作角;Ⅱ。求角)
⑴异面直线所成角的求法:①平移法:平移直线,构造三角形;
②补形法:补成正方体、平行六面体、长方体等,发现两条异面直线间的关系。
注:理科还可用向量法,转化为两直线方向向量的夹角。
⑵直线与平面所成的角:①直接法(利用线面角定义);②先求斜线上的点到平面距离h,与斜线段长度作比,得sin 。
注:理科还可用向量法,转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。
⑶二面角的求法:①定义法:在二面角的棱上取一点(特殊点),作出平面角,再求解;
②三垂线法:由一个半面内一点作(或找)到另一个半平面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解;③射影法:利用面积射影公式: ,其中 为平面角的大小;
注:对于没有给出棱的二面角,应先作出棱,然后再选用上述方法;
理科还可用向量法,转化为两个班平面法向量的夹角。
5.求距离:(步骤-------Ⅰ。找或作垂线段;Ⅱ。求距离)⑴两异面直线间的距离:一般先作出公垂线段,再进行计算;⑵点到直线的距离:一般用三垂线定理作出垂线段,再求解;⑶点到平面的距离:①垂面法:借助面面垂直的性质作垂线段(确定已知面的垂面是关键),再求解;②等体积法;理科还可用向量法: 。
⑷球面距离:(步骤)(Ⅰ)求线段AB的长;(Ⅱ)求球心角∠AOB的弧度数;(Ⅲ)求劣弧AB的长。
6.结论:⑴从一点O出发的三条射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上;⑵立平斜公式(最小角定理公式): ⑶正棱锥的各侧面与底面所成的角相等记为 ,则S侧cos =S底;
⑷长方体的性质①长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 则:cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。
②长方体体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为 则有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。
⑸正四面体的性质:设棱长为 ,则正四面体的:
① 高: ;②对棱间距离: ;③相邻两面所成角余弦值: ;④内切球半径: ;外接球半径: ;
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