浅谈导数的应用
【摘要】导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知识的网络交汇处设计问题。因此,在教学中,要突出导数的应用。【关键词】导数;应用;函数;不等式
【Abstract】The derivative widespread application, solved the function problem for us to provide the powerful tool, might solve in the function most value problem with the derivative, the inequality question, but might also the analytic geometry relate, might in the knowledge network intersection point design question. Therefore, in the teaching, must highlight the derivative the application.
【Keywords】Derivative; Using; Function; Inequality
导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。本文拟就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。
1以导数概念为载体处理函数图象问题函数图象直观地反映了两个变量之间的变化规律,由于受作图的局限性,这种规律的揭示有时往往不尽人意. 导数概念的建立拓展了应用图象解题的空间。
例1:(2007浙江卷)设 是函数f(x)的导函数,将y= f(x)+f′(x)和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(D)
例2:(2005江西卷) 已知函数y= xf′(x)的图象如右图所示(其中f′(x))是函数 f(x)的导函数),下面四个图象中y= f(x)的图象大致是(C)
分析:由图象知,f′(1)=f′(-1) =0,所以x=±1是函数f(x)的极值点,又因为在(-1,0)上,f′(x)<0,在(0,1)上,f′(x)>0,因此在(-1,1)上,f(x)单调递减,故选C。
2以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究,导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方法,具有普遍的可操作方法。
例3:已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定义在R上的函数, 其图象交x轴于A、B、C三点, 点B的坐标为(2,0),且 f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. ①求C的值. ②若函数f(x)在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性, f(x)的图象上是否存在一点M, 使得f(x)在点M的切线斜率为3b? 若存在, 求出M点的坐标. 若不存在, 说明理由.
分析:①f′(x)=3x2+2bx+c,
∵f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.
∴ x=0是f(x)的一个极值点, 故f′(0)=0. ∴c=0.
②令f′(x)=0得3x2+2bx=0,x1=0,x2=
因为f(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性,
∴f′(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的符号.
故2≤-2b3≤4,-6≤b≤-3.
假设存在点M(x0,y0)使得f(x)在点M的切线斜率为3b,则f′(x0)=3b.
即3x02+2bx0-3b=0.∵△=4b2-4·3·(-3b)=4b(b+9),而f′(x0)=3b.
∴△<0.
故不存在点M(x0,y0)使得f(x)在点M的切线斜率为3b.
3证明不等式彰显导数方法运用的灵活性把要证明的一元不等式通过构造函数转化为f(x)>0(<0)再通过求f(x)的最值,实现对不等式证明,导数应用为解决此类问题开辟了新的路子,使过去不等式的证明方法从特殊技巧变为通法,彰显导数方法运用的灵活性、普适性。
例4:(1)求证:当a≥1时,不等式对于n∈R恒成立.
(2)对于在(0,1)中的任一个常a ,问是否存在x0>0使得ex0-x0-1>a·x022 ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。
分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。
只需证: ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex①
令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x) =ax+1·ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex
∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x) ≥0
∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证
(Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2 成立。
只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x②
令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2x[ex+a(x-1)]
而φ(x)=ex+a(x-1)在x≤0时为增函数
故φ(x)≤φ(0)=1-a≤0,从而m(x) ≤0
∴m(x)在x≤0时为减函数,则m(x)≥m(0)=1,从而②式得证
由于①②讨论可知,原不等式ex-x-1≤ax2e|x|2在a≥1时,恒成立
(2)解:ex0-x0-1≤a·x02|x|2ex0将 变形为ax022+x0+1ex0-1<0 ③
要找一个x0>0,使③式成立,只需找到函t(x)=ax22+x+1ex-1 的最小值,
满足t(x)min<0即可,对t(x)求导数t′(x)=x(a-1ex)
令t′(x)=0得ex =1a,则x= -lna,取X0= -lna
在0<x<-lna时,t′(x) <0,在x > -lna时,t′(x) >0
t(x)在x=-lna时,取得最小值t(x0)=a2(lna) 2+a( -lna+1)-1
下面只需证明:a2(lna) 2-alna+a-1<0,在0<a<1时成立即可
又令p(a) =a2(lna) 2-alna+a-1,对p(a)关于a求导数
则p′(a) =12(lna) 2≥0,从而p(a)为增函数
则p(a)<p(1)=0,从而a2(lna) 2-alna+a-1<0得证
于是t(x)的最小值t(-lna)<0
因此可找到一个常数x0=-lna(0<a<1),使得③式成立
最值证明在不等式中的应用,一般转化不等式(转化的思想)构造一个函数,(函数的思想方法)然后求这个函数的极(最)值,应用恒成立关系就可以证明,对于应用导数解决实践问题,关键是建立恰当的数学模型。
4求曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率,运用导数的几何意义函数在某点的导数,其几何意义是曲线在该点处切线的斜率,利用导数可以十分便捷地分析处理解析几何中的有关切线问题。
例5:已知函数f(x)=ln x,g(x)=12x2-a(a为常数),若直线l与y=f(x)和y=g(x)的图象都相切,且l与y=f(x)的图象相切于定点P(1,f(1)).
(1)求直线l的方程及a 的值;
(2)当k∈R时,讨论关于x的方程f(x2+1)-g(x)=k的实数解的个数.
分析:(1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1 ∴k1=1,又切点为P(1,f(1)),即(1,0)
∴l的解析式为y=x-1,
∵l与y=g(x)相切,由y=x-1
y=12x2+a,消去y得x2-2x+2a+2=0
∴△=(-2)2-4(2a+2)=0,得a=- 12
(2)令h(x)= f(x2+1)-g(x)=ln(x2+1)-12x2+12
∵h′(x) =2x1+x2-x=-x(x-1)(x+1)1+x2,则h′(x) >0,h(x) 为增函数,-1<x<0或x>1时,h′(x) <0,h(x) 为减函数。
故x=±1时,h(x)取极大值ln2,x=0时,h(x)取极小值12。
因此当 k∈(ln2,+∞),原方程无解;当k=ln2时,原方程有两解;当12<k<ln2时,原方程有四解;当k=12时,原方程有三解;当k<12时,原方程有两解。
5利用导数求函数极(最)值解答这类问题的方法是:①根据求导法则对函数求出导数。②令导数等于0,解出导函数的零点。③分区间讨论,得出函数的单调区间。④判断极值点,求出极值。⑤求出区间端点值与极值进行比较,求出最值。
例6:设x1、x2是函数f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)的两个极值点.
(1)若x1=-1,x2=2,求函数f(x)的解析式;
(2)若|x1|+|x2|=22,求f(x)的最大值;
分析:(1)∵f(x)=ax3+bx2-a2x (a>0),∴f′(x)=ax3+bx2-a2x (a>0)
依题意有f′(-1)=0
f′(2)=0,∴ 3a-2b-a2=0
12a+4b-a2=0
解得a=6
b=-9,∴f(x)=6x2+9x2-36x.
(2)∵f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0),
依题意,x1,x2是方程f′(x)=0的两个根,且|x1|+|x2|=22,
∴(x1+x2)2-2x1x2+|x1+x2|=8.
∴(-2b3a)2·(-a3)+2|-a3|=8,∴b2=3a2(6-a).
∵b2≥0,∴0<a≤6.
设p(a)=3a2(6-a),则p′(a)=-9a2+36a.
由p′(a) >0得0<a<4,由p′(a) >0得a>4.
即:函数p(a) 在区间(0,4]上是增函数,在区间[4,6]上是减函数,
∴当a=4时,p(a)有极大值为96,∴p(a)在(0,6]上的最大值是96,
∴b的最大值为46.
导数的广泛应用,为我们解决函数问题提供了有力的工具,用导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以解析几何相联系,可以在知识的网络交汇处设计问题。因此,在教学中,要突出导数的应用。
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