变式教学中习题引申应注意的几个问题
“引申”主要是指对例习题进行变通推广,重新认识.恰当合理的引申能营造一种生动活泼、宽松自由的氛围,开阔学生的视野,激发学生的情趣,有助于培养学生的探索精神和创新意识,并能使学生举一反三、事半功倍.笔者在教学视导中发现,有些教师对引申的“度”把握不准确,不能因材施教,单纯地为了引申而引申,给学生造成了过重的学习和心理负担,使学生产生了逆反心理,“高投入、低产出”,事倍而功半.下面就引申要注意的几个问题谈点个人的看法.
1 引申要在原例习题的基础上进行,要自然流畅,不能“拉郎配”,要有利于学生通过引申题目的解答,加深对所学知识的理解和掌握
如在新授定理“a,b∈R+,(a+b)/2)≥ (当且仅当a=b时取“=”号)”的应用时,给出了如下的例题及引申:
例1 已知x>0,求y=x+(1/x)的最小值.
引申1 x∈R,函数y=x+(1/x)有最小值吗?为什么?
引申2 已知x>0,求y=x+(2/x)的最小值;
引申3 函数y=(x2+3)/ 的最小值为2吗?
由该例题及三个引申的解答,使学生加深了对定理成立的三个条件“一正、二定、三相等”的理解与掌握,为定理的正确使用打下了较坚实的基础.
例2 求函数f(x)=sin(2x/3)+cos[(2x/3)-(π/6)]的振幅、周期、单调区间及最大值与最小值.
这是一个研究函数性质的典型习题,利用和差化积公式可化为f(x)=cos((2x/3)-(π/3)),从而可求出所要的结论.现把本例作如下引申:
引申1 求函数f(x)=sin(2x/3)+cos[(2x/3)-(π/6))的对称轴方程、对称中心及相邻两条对称轴之间的距离.
引申2 函数f(x)=sin(2x/3)+cos((2x/3)-(π/6))的图象与y=cosx的图象之间有什么关系?
以上两个引申的结论都是在相同的题干下进行的,引申的出现较为自然,它能使学生对三角函数的图象及性质、图象的变换规律及和积互化公式进行全面的复习与掌握,有助于提高学习效率.
2 引申要限制在学生思维水平的“最近发展区”上,引申题目的解决要在学生已有的认知基础之上,并且要结合教学的内容、目的和要求,要有助于学生对本节课内容的掌握
如在新授定理“a,b∈R+,(a+b/2)≥ (当且仅当a=b时取“=”号)”的应用时,把引申3改为:求函数y=(x2+3)/ 的最小值,则显得有些不妥.因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用,而解答引申3不但要指出函数的最小值不是2,而且还要借助于函数的单调性求出最小值,这样本堂课就要用不少时间去证明单调性,“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授;但若作为课后思考题让学生去讨论,则将是一种较好的设计.
3 引申要有梯度,循序渐进,切不可搞“一步到位”,否则会使学生产生畏难情绪,影响问题的解决,降低学习的效率
如在新授利用数学归纳法证明几何问题时,《代数》(非实验修订本)课本给出了例题:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于(1/2)n(n-1).在证明的过程中,引导学生注意观察f(k)与f(k+1)的关系有f(k+1)-f(k)=k,从而给出:
引申1 平面内有条n直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,求这n条直线共有几个交点?
此引申自然恰当,变证明为探索,使学生在探索f(k)与f(k+1)的关系的过程中得了答案,而且巩固加深了对数学归纳法证明几何问题的一般方法的理解.类似地还可以给出
引申2 平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,该n条直线把平面分成f(n)个区域,则f(n+1)=f(n)+_______________.
引申3 平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,该n条直线把平面分成f(n)个区域,求f(n).
上述引申3在引申1与引申2的基础上很容易掌握,但若没有引申1与引申2而直接给出引申3,学生解决起来就非常困难,对树立学生的学习信心是不利的,从而也降低了学习的效率.
4 提倡让学生参与题目的引申
引申并不是教师的“专利”,教师必须转变观念,发扬教学民主,师生双方密切配合,交流互动,只要是学生能够引申的,教师绝不包办代替.学生引申有困难的,可在教师的点拨与启发下完成,这样可以调动学生学习的积极性,提高学生参与创新的意识.
如在学习向量的加法与减法时,有这样一个习题:化简 + + .
(试验修订本下册P.103习题5.2的第6小题)在引导学生给出解答后,教师提出如下思考:
①你能用文字叙述该题吗?
通过讨论,畅所欲言、补充完善,会有:
引申1 如果三个向量首尾连接可以构成三角形,且这三个向量的方向顺序一致(顺时针或逆时针),则这三个向量的代数和为零.
②大家再讨论一下,这个结论是否只对三角形适合?
通过讨论学生首先想到对四边形适合,从而有
引申2 =0.
③大家再想一想或动笔画一画满足引申2的这四个向量是否一定可构成四边形?
在教师的启发下不难得到结论:四个向量首尾相连不论是否可形成四边形,只要它们的方向顺序一致,则这四个向量的代数和为零.
④进一步启发,学生自己就可得出n条封闭折线的一个性质:
引申3 + + +…+ + =0.
最后再让学生思考若把 + + =0改为任意的三个向量a+b+c=0,则这三个向量是否还可以构成三角形?这就是P.103习题5.2的第7小题,学生很容易得出答案.至此,学生大脑中原有的认知结构被激活,学生的求知欲被唤起,形成了教师乐教、学生乐学的良好局面.
5 引申题目的数量要有“度”
引申过多,不但会造成题海,会增加无效劳动和加重学生的负担,而且还会使学生产生逆反心理,对解题产生厌烦情绪.笔者在一次听课时,有位青年教师对一道例题连续给出了10个引申,而且在难度上逐渐加大,最后引申的题目与例题无论在内容上还是在解题方法上都相关不大,这样的引申不仅对学生学习本节课内容没有帮助,而且超出了学生的接受能力,教学效果也就会大打折扣.
