平行四边形的识别的进一步探索
平行四边形的识别的进一步探索
长沙市芙蓉区马王堆中学 曾志明
我们知道，两组对边分别平行，或者一组对边平行且相等，或者两组对边分别相等，或者两组对角分别相等，或者对角线互相平分的四边形是平行四边形。那么，一组对边相等，一组对角相等的四边形是不是平行四边形呢？下面，我们就此进行探索。
以下，我们总设在四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC。
1． 若∠A=∠C=Rt∠
1 2
在Rt△ABD和Rt△CDB中
AD=BC
∴Rt△ABD≌Rt△CDB (HL)
∴∠1=∠2 B C
∴AD∥BC
而 已知AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形。
2． 若∠A=∠C﹥Rt∠
连结BD，分别过D、B向AB、CD作垂线DE、BF；E、F为垂足
∵∠1=∠2 E
1 2 3 4 5 6 7 8
而 DE⊥BE、BF⊥DF
∴∠E=∠F=Rt∠ A D
又 AD=BC
∴△ADE≌△CBF （AAS）
∴DE=BF 5
在Rt△BDE和Rt△DBF中 B C
BD=DB
∴Rt△BDE≌Rt△DBF （HL） F
∴∠5=∠6
由三角形内角和定理。得
∠7=∠8
∴AD∥BC
而 已知AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形
3． 若∠A=∠C﹤Rt∠
先作等腰△DAG，使DA=DG。作DH⊥AG，H为垂足，在AH上取点B（不与A、H重合）。使BG﹤DG连结DB，并作DB的中垂线EF
∵BG﹤DG
∴点G不在EF上
作点G关于EF的对称点C，连结BC，DC。
（1）∵△CDB与△GBD关于EF对称
∴∠G=∠C DG=BC
∴∠A=∠C，DA=BC
另外BG﹤DG
∴∠GDB﹤∠GBD C
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC E
=∠ABD+∠GDB
﹤∠ABD+∠GBD F
=180° A
即∠ABC﹤180° B H G
故四边形ABCD是满足条件的四边形
即一组对角相等（∠A=∠C ）
一组对边相等（ DA=BC ）
（2）∵B在AH上，且不与A、H重合
∴AB﹤BG
而BG=DC
∴AB﹤DC
故四边形ABCD不是平行四边形。
综上所述，一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形
