有理数的加法
【学习目标】1.能说出有理数的加法法则,并能运用加法法则进行有理数的加法运算或能解决简单的实际问题.
2.能运用加法的运算性质简化加法运算.
3.知道有理数的加法运算律,并能运用加法运算律使加法计算简便合理.
【主体知识归纳】
1.有理数的加法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两数相加得0.
(3)一个数与0相加,仍得这个数.
2.有理数的加法运算律
(1)交换律 两数相加,交换加数的位置,和不变.
a+b=b+a
(2)结合律 三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
(a+b)+c=a+(b+c)
【基础知识讲解】
1.有理数的加法法则,是进行有理数加法运算的依据,运算步骤如下:
(1)先确定和的符号;
(2)再确定和的绝对值.
2.运算规律是:同号的两个数(或多个数)相加,符号不变,只把它们的绝对值相加即可.如(+3)+(+4)=+(3+4)=+7.(-3)+(-4)+(-13)=-(3+4+13)=-20.异号两数相加,首先要确定和的符号.取两数中绝对值较大的加数的符号,作为和的符号,用较大的绝对值减去较小的绝对值的差,作为和的绝对值.如(+3)+(-4)=-(4-3)=-1.
3.运用有理数加法的运算律,可以任意交换加数的位置.把交换律和结合律灵活运用,就可以把其中的几个数结合起来先运算,使整个计算过程简便而又不易出错.
【例题精讲】
例1 计算(+16)+(-25)+(+24)+(-32).
剖析:此小题逐个相加当然可以,但较麻烦.可以利用加法的交换律和结合律,正、负数分别结合,再相加.
解:(+16)+(-25)+(+24)+(-32)=[(+16)+(+24)]+[(-25)+(-32)]=(+40)+(-57)=-17.
说明:在进行三个以上的有理数的加法运算时,一般把正数和负数分别结合起来,再相加,计算较为简便.若是在同一加法的算式里有相反数,要首先结合相反数.
例2 计算(-2.1)+(+3.75)+(+4)+(-3.75)+(+5)+(-4).
剖析:仔细观察算式,发现(+3.75)与(-3.75),(+4)与(-4)互为相反数,根据互为相反数的两个数相加得零.
解:(-2.1)+(3.75)+(+4)+(-3.75)+(+5)+(-4)=[(-2.1)+(+5)]+[(+3.75)+(-3.75)]+[(+4)+(-4)]=2.9+0+0=2.9.
说明:计算时,若把相加得零的数结合起来,计算较为简便.
例3 计算(-2.39)+(+3.57)+(-7.61)+(-1.57).
剖析:此题把正、负数分别结合,并非简单算法.用“凑整法”,分别把(-2.39)与(-7.61),(+3.57)与(-1.57)相结合,较为简便.
解:(-2.39)+(3.57)+(-7.61)+(-1.57)=[(-2.39)+(-7.61)]+[(+3.57)+(-1.57)]=(-10)+(+2)=-8.
说明:计算时,把能凑成整数的两个或多个数相加,是常用的方法之一.
例4 计算(+3 )+(-5 )+(-2 )+(-32 ).
解:(+3 )+(-5 )+(-2 )+(-32 )=[(+3 )+(-2 )]+[(-5 )+(-32 )]=(+1 )+(-38)=-36 .
说明:在含有分数的算式中,一般把分母相同的数结合在一起,计算较为简便.
例5 计算下列各题:
(1)0.2+(-5.4)+(-0.6)+(+6); (2)(+ )+(+ )+(- )+(- );
(3)(+3.15)+(-2.64)+(-6.31)+(+2.85)+(-9.36).
剖析:(1)小题正数与正数、负数与负数分别结合,可使计算简便;(2)小题前三个数结合相加为零;(3)小题第一个数与第四个数、第二个数与第五个数相结合凑为整数.
解:(1)0.2+(-5.4)+(-0.6)+(+6)=[0.2+(+6)]+[(-5.4)+(-0.6)]=6.2+(-6)=0.2
(2) (+ )+(+ )+(- )+(- )=[(+ )+(+ )+(- )]+(- )=0+(- )=- .
(3)(+3.15)+(-2.64)+(-6.31)+(+2.85)+(-9.36)
=[(+3.15)+(+2.85)]+[(-2.64)+(-9.36)]+(-6.31)
=-12.31.
说明:灵活地运用加法的运算律,可以使运算简便、迅速且易于检查.如在(1)小题中,把正数、负数分别结合;在第(2)小题中主要是把其和为零的数结合;在第(3)小题中,则是把和为整数的两数结合在一起.因此,不同的题选择的结合方法不尽相同,要根据题中数的特点决定.
例6 若|y-3|+|2x-4|=0,求3x+y的值.
剖析:根据绝对值的性质可以得到|y-3|≥0,|2x-4|≥0,所以只有当y-3=0且2x-4=0时,|y-3|+|2x-4|=0才成立.由y-3=0得y=3,由2x-4=0,得x=2.则3x+y易求.
解:∵|y-3|≥0,|2x-4|≥0,
又∵|y-3|+|2x-4|=0.
∴y-3=0,y=3 2x-4=0,x=2.
∴3x+y=3×2+3=9.
说明:此题利用了“任何一个有理数的绝对值都非负”这个性质.因为几个非负数的和仍是非负数,所以当几个非负数的和是零时,这几个数全为零.
【同步达纲练习】
1.判断题
(1)两个数相加,如果和比每个数都小,那么这两个数同为负数.
(2)如果两个加数的和为正数,那么一定有一个加数为0.
(3)正数加负数,和为负数.
(4)两个有理数的和为负数时,这两个有理数都是负数.
(5)(-8)+(+3)=+(8-3)=+5.
(6)(-8)+(-3)=-(8+3)=-11.
(7)两个有理数的和,一定大于任何一个加数.
(8)若a>0,b>0,则a+b=+(|a|+|b|).
(9)若a>0,b<0,则a+b=+(|a|-|b|).
(10)若a<0,b<0,则a+b=-(|a|+|b|).
2.填空题
(1)符号相同的有理数相加的法则是______;符号相异的两个有理数相加的法则是_____.
(2)用字母表示加法的交换律和结合律分别为_______,_______.
(3)-5+_______=0; (4)-5+_______=5;
(5)-5+_______=-5; (6)-5+_______=-10;
(7)+(+13)= _______+15; (8)(-13)+ _______=-15;
(9) _______+(+2)=+11; (10) _______+(+2)=-11;
(11)(-4 )+(+8 )=______3 ; (12)(+5 )+(-7 )=______2 .
(13)a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b_______0.(填>,<,≥,≤).
(14)如果m>0,n>0,则m+n_______0.
(15)如果m<0,n<0,则m+n_______0.
(16)两个加数的和是0,其中的一个加数为-3 ,则另一个加数为________.
(17)比-4.1大3的数是_________.
(18)一个有理数的绝对值的相反数一定________零.
(19)4m-6与2互为相反数,则-m=___________.
(20)已知a、b为有理数,若|a+ |+(2b-5)2=0,则a=_________,b=_________.
3.选择题
(1)设a、b为两个有理数,a+b与a比较
A.a+b>a
B.a+b<a
C.a+b不小于a
D.大小关系应考虑b是正数,b是负数和b是零三种情况
(2)如果不为零的两个数的绝对值相等,那么下列说法错误的是
A.这两个数必相等
B.这两个数相等或互为相反数
C.当这两个数同号时,A正确
D.当这两个数异号时,这两个数互为相反数
(3)若5<x<10,化简|-x+5|+|-10+x|的结果是
A.+5
B.-5
C.15-2x
D.2x-15
(4)如果m<0,则|2m|等于
A.0
B.2m
C.-2m
D.以上答案都不对
4.进行下列运算,并分析各题运算过程:
(1)(+8)+(+5); (2)(-8)+(-5);
(3)(+8)+(-5); (4)(-8)+(+5);
(5)(-8)+(+8); (6)(+8)+0;
(7)(-8)+0; (8)(+5 )+(+3 );
(9)(-5 )+(-3 ); (10)(+5 )+(-3 ).
5.用简便方法计算:
(1)(-0.6)+0.2+(-11.4)+0.8;
(2)(+56)+(-12)+(+11.3)+(-7.4)+(+8.1)+(-2.5);
(3)(-4 )+(-3 )+(+6 )+(-2 );
(4)(-0.5)+(+3 )+(+2.75)+(-5 );
(5)(+0.25)+(-3 )+(- )+(-5 );
(6)(-3.5)+(-1.3)+(+3.5)+(-0.5)+(-8.7).
6.运河信用社办理了五笔储蓄业务,顺序如下:取出5万元,存进9.5万元,取出3万元,存进15万元,存进80万元.问这个信用社存款增加了多少万元?
7.有理数a、b满足a、b异号,a<b,且a+b>0,则|a|_______|b|(用“>”或“<”填空).
8.若|x|-1|=2,求x的值.
9.
10.若4|x-2|+|y-3|=0,求 的值.
【思路拓展题】
负数是数吗?
“负数”是数吗?对你现在来说,这已不是问题,而在人类的认识过程中却经历了漫长的时期.
数的起源.在远古时候,人们天天用手拿东西,时间长了,有人便发现了一个秘密,一只手上有5个指头,于是,1至5就这样产生了.这个简单的数“5”,却是人类记数的第一次突破,是数学作为一门科学迈出的关键性的一步.又过了很长一段时间,有人把两只手放在一起,却发现竟是两个“5”,这样便产生了“10”.以后用两只手加一只脚,又知道了“15”.这以后相当长的一段时间里,“20”便成了人们所能够认识的最大的数.随着生产的发展,20远远不够用了.比如:牧羊人要把一群羊的数目点清,就必须想新的办法.牧羊人就用石子代替羊.在清点牧羊的数目时,用一块石子代替一只羊,每10只羊用一块大石子代替.这样30、40、50直至90便产生了.另外,古波斯王在战争中,还发明了结绳记数法.以后,随着人们的认识水平的提高和生活、生产的需要,发明了百、千、万、亿……以至任何数目的记载方法.
在使用负数和它的运算方面,中国在世界上处于遥遥领先的地位——距今大约2000年以前,就已经认识了负数,规定了表示负数的方法,指出了负数在具有相反意义的量中的实际意义,并进一步在解方程中运用正负数的运算.
在国外,印度大约在公元七世纪才开始认识负数.在欧洲,直到十二、三世纪才有负数,但这时的西方数学家并不欢迎它,甚至许多人都说负数不是数.科学上的新发现往往会受到保守势力的反抗.当负数概念传到欧洲以后,新旧观点之间引起了激烈的冲突.这场大辩论延续了几百年,最后才逐渐取得比较一致的看法:负数和正数、零一样,也是数.
在这场大辩论中有一段小插曲,颇能引起人们的深思:
一天,着名的数学家、物理学家帕斯卡(Pascal,1623~1662年)正和他的好友,神学家、数学家阿尔诺(Arnauld,1612~1694年)聊天,突然,阿尔诺说:从来都是较小的数∶较大的数=较小的数∶较大的数,或较大的数∶较小的数=较大的数∶较小的数.
现在,居然出现(-1)∶1=1∶(-1)
这种“较小的数∶较大的数=较大的数∶较小的数”这类怪现象了!
阿尔诺的话当然引起人们的浓厚兴趣,甚至一部分人的疑虑——承认负数是数,你就得承认“小数∶大数=大数∶小数”这种怪现象.
其实,当数的范围扩大以后,原有的数学现象,有一些被保留下来,也有一些现象不被保留下来.数的范围从正整数、正分数扩大到有理数,“大数比小数一定等于大数比小数”这一数学现象就不被保留下来.这种情况,当你学习了更多的数学知识、数的范围进一步扩大时,还会碰到.
参考答案
【同步达纲练习】
1.(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× (8)√ (9)× (10)√
2.(1)取原来加数的符号,并把绝对值相加 取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值
(2)a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
(3)5 (4)10 (5)0 (6)(-5) (7)2 (8)(-2)
(9)9 (10)(-13) (11)+ (12)- (13)<
(14)> (15)< (16)+3 (17)-1.1
(18)不大于 (19)-1 (20)-
3.(1)D (2)B (3)A (4)C
4.(1)+13 两个正数相加;
(2)-13 两个负数相加;
(3)+3 绝对值不等的两数相加;
(4)-3 绝对值不等的两数相加;
(5)0 互为相反的两数相加;
(6)+8 一个数同0相加;
(7)-8 一个数同0相加
(8)9 两个正分数相加;
(9)-9 两个负分数相加;
(10)2 两个绝对值不等的分数相加.
5.(1)-11 (2)53.5 (3)-4 (4)0 (5)-8 (6)-9.5
6.93.5万元 7.< 8.±3 9.-2003 10
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