正切和余切
第一课时
一、教学目标
1．使学生了解正切、余切的概念，能够正确地用 、 表示直角三角形（其中一个锐角为 ）中两边的比，了解 与 成倒数关系，熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数，了解一个锐角的正切（余切）值与它的余角的余切（正切）值之间的关系。
2．逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力。
3．培养学生独立思考、勇于创新的精神。
二、学法引导
1．教学方法：运用类比法指导学生探索研究新知。
2．学生学法：运用类比法主动探索研究新知。
三、重点、难点、疑点及解决办法
1．重点：了解正切、余切的概念，熟记特殊角的正切值和余切值。
2．难点：了解正切和余切的概念。
3．疑点：正切与余切概念的混淆．
4．解决办法：通过类比引出概念和性质，再通过大量直接应用，巩固概念和性质。
四、教具准备
投影机、投影片（自制）、三角板
五、教学步骤
（一）明确目标
1．什么是锐角 的正弦、余弦？（结合下图回答）。
2．填表
3．互为余角的正弦值、余弦值有何关系？
4．当角度在0°～90°变化时，锐角的正弦值、余弦值有何变化规律？
5．我们已经掌握一个锐角的正弦（余弦）是指直角三角形中该锐角的对边（邻边）与斜边的比值，那么直角三角形中，两直角边的比值与锐角的关系如何呢？在锐角三角函数中，除正、余弦外，还有其他一些三角函数，本节课我们学习正切和余切。
（二）整体感知
正切、余切的概念，也是本间的重点和关键，是全章知识的基础，对学生今后的学习或工作都十分重要，教材在继第一节正弦和余弦后，又以同样的顺序安排第二节正切余切，像这样，把概论、计算和应用分成两块，每块自与一个整体小循环，第二循环又包含了第一循环的内容，可以有效地克服难点，同时也使学生通过对比，便于掌握锐角三角函数的有关知识。
（三）教学过程
1．引入正切、余切概念
①本节课我们研究两直角边的比值与锐角的关系，因此同学们首先应思考：当锐角固定时，两直角边的比值是否也固定？
因为学生在研究过正弦、余弦概念之后，已经接触过这类问题，所以大部分学生能口述证明，并进一步猜测“两直角边的比值一定是正切和余切”。
②给出正切、余切概念。
如图，在 中，把 的对边与邻边的比叫做 的正切，记作 。
即
并把 的邻边与对边的比叫做 的余切，记作 ，
即
2． 与 的关系
请学生观察 与 的表达式，得结论 （或 ， ）这个关系式既重要又易于掌握，必须让学生深刻理解，并与 区别开．
3．锐角三角函数
由上图， ， ， ， ，把锐角 的正弦、余弦、正切、余切都叫做 的锐角三角函数。
锐角三角函数概念的给出，使学生茅塞顿开，初步理解本节题目。
问：锐角三角函数能否为负数？
学生回答这个问题很容易。
4．特殊角的三角函数。
①教师出示幻灯片
请同学推算30°、45°、60°角的正切、余切值。（如下图）
；
；
；
；
；
．
通过学生计算完成表格的过程，不仅复习巩固了正切、余切概念，而且使学生熟记特殊角的正切值与余切值，同时渗透了数形结合的数学思想。
0°，90°正切值与余切值可引导学生查“正切和余切表”，学生完全能独立查出。
5．根据互为余角的正弦值与余弦值的关系，结合图形，引导学生发现互为余角的正切值与余切值的关系。
结论：任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
即 ， ．
练习：1）请学生回答 与 的值各是多少？ 与 ？ 与 呢？学生口答之后，还可以为程度较高的学生设置问题： 与 有何关系？为什么？ 与 呢？
2）把下列正切或余切改写成余角的余切或正切：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） 。
6．例题
【例1】求下列各式的值：
（1） ；
（2） ．
解：（1）
；
（2）
＝2．
练习1．求下列各式的值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
2．填空：
（1）
（2）若 ，则锐角
（3）若 ，则锐角
学生的计算能力可能不很强，尤其是分式，二次根式的运算，因此这里应查缺补漏，以培养学生运算能力。
（四）总结扩展
请学生小结：本节课了解了正切、余切的概念及 与 关系．知道特殊角的正切余切值及互为余角的正切值与余切值的关系．本课用到了数形结合的数学思想．
结合 及 ，可扩展为 ．
六、布置作业
1．看教材P12～P14，培养学生看书习惯。
2．教材P16中习题6.2A组2、3、4、5、6．
七、板书设计
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