下学期 4.2 弧度制
教学目标：
1．明确引入弧度制的必要性，理解新单位制意义．
2．熟练掌握角度制与弧度制的换算．
教学重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．
教学难点：弧度制定义的理解．
教学用具：投影仪．
教学过程
1．设置情境
在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位．
2．探索研究
（1）复习角度制
我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来度量角， 的角是如何定义的？
规定把周角的 作为1度的角．
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制，在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
（2）弧度制定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧 的长等于半径 ， 所对的圆心角 就是1弧度的角，弧度制的单位符号是 ，读作弧度．
图1
的弧度数 的弧度数
提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆呢？
因为半圆的弧长 ，其圆心角的弧度数是 ，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是 ．
在 到 的角的弧度数 必然适合不等式 ，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它以所对的弧长 ，则这个圆心角的弧度数是 ，由此我们给出弧度制的定义：一般地，可以得到：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角 的弧度数的绝对值 ，其中 是以角 作为圆心角时所对的弧长， 是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？
如图2，设 为 的角，圆弧 和 的长分别为 和 ，点 和 到点 的距离（即圆半径）分别为 和 ，由初中学过的弧长公式可得： ， ，于是 ．上式表明，以角 为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由 的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．
因 ，可以得到 ，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式 要简单．
（3）角度制与弧度制的换算
用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知识若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是 ，而在角度制里它是 ，因此 ，两边除以2．
得 等式两边同除180
得
同理，把弧度换成角度．
【例1】把 化成弧度．
解：∵
∴
【例2】把 化成度．
解：
同学们在进行角度制与弧度制互化时要抓住 弧度这个关键．
下面请大家写出一些特殊角的弧度数．
角度
弧度
按从左至右顺序其答案是：0、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“ ”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角 就表示 是 的角， 就表示 的角的余弦，即 ．
（4）角度制与弧度制的比较
引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而 是圆的 所对的圆心角（或该弧）的大小；③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．
【例3】计算：
（1） ；（2） ．
解：（1）∵ ∴
（2）∵
练习（用投影仪）
1．把下列各角化成 的形式：
（1） ；（2） ；
（3） ．
2．求右图3中公路弯道处弧 的长 （精确到 ，图中长度单位： ）．
参考答案：
1．（1）
（2）
（3）
2．∵
∴
答：弯道处 的长约为 ．
3．练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数．
（2）已知扇形的周长为 ，面积为 ，求扇形的中心角的弧度数．
（3）下列终边相同的是（ ）．
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
参考答案：（1） 、 、 ； （2）2 （3）B
4．总结提炼
（1） 弧度；
（2）“角化弧”时，将 乘以 ；“弧化角”时，将 乘以
（3）弧长公式：
扇形面积公式： ．（其中 为圆心角 所对的弧长， 为圆心角的弧度数， 为圆半径．）
课时作业
1．角集合 与 之间的关系为（ ）
A． B． C． D．不确定
2．若角 和 的终边互为反向延长线，则有（ ）
A． B．
C． D．
3．中心角为 的扇形，它的弧长为 ，则该扇形所在圆的半径为______________．
4．若 ，且 与 的角的终边垂直，则 ．
5．已知直径为 的滑轮上有一条长为 的弦， 是此弦的中点，若滑轮以每秒5弧度的角速度旋转，则经过5秒钟后点 转过的弧长等于多少？
6．已知一个扇形周长为 ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积
参考答案：1．C 2．D 3．6； 4． 或 ； 5． ； 6．中心角 时， ．
