下学期 5.5 线段的定比分点
一．教学目标
1．理解点P分有向线段所成的比λ的含义，能确定λ的正负号；
2．掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式，并能熟练运用这两个公式解决实际问题；
3．向学生渗透数形结合的思想，培养学生的思维能力，发现事物间的变化规律.
二．教学重点 线段的定比分点和终点的坐标公式的应用．
教学难点 用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ＞0还时λ＜0．
三．教学具准备
投影仪，直尺．
四．教学过程
1．设置情境
已知线段 的两个端点 、 ， 为线段 所在直线上任一点，由共线向量知识，必有 ．我们能否解决这样的问题，（1）已知 及 、 ，求P点坐标 ；（2）已知 、 及 ，求 值．
本节课就来讨论上述两个问题，（板书课题——线段的定比分点）
2．探索研究
（1）师：请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则．
生：两个向量的和（差）的坐标，等于这两个向量的相应的坐标的和（差）；实数与向量的积的坐标，等于这个实数与这个向量的相应坐标的积．
师：已知直线l上两点 、 ，在直线l上取不同于 、 的任一点P，则P点的位置有哪几种情形？
生：有三种情形，P在 之间；P在 的延长线上，P在 的延长线上．
师：请得很好，下面我们就P在直线 上的三种情况给出定义：
设 、 是直线l上的两点，点P是l上不同于 、 的任意一点，若存在一个实数 使 ，则 叫做点P分有向线段 所成的比．
你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定 的取值范围吗？（启发学生从向量的方向上考虑）
生：当P在 之间时， 与 方向相同，所以 ；当点P在 的延长线上时， ；若点P在 的延长线上时，同理可得 ．
下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式
师：设 ， ，P分 所成的比为 ，如何求P点的坐标呢？
（按以下思路引导学生进行思考）
师：设 ，你能用坐标表示等式 吗？
生：
师：由两个向量相等的条件，可以得出什么结论呢？
生：
师：对！这就是线段 的定比分点P的坐标公式，特别地，当 时，得中点P的坐标公式：
（2）例题分析
【例1】 已知两点 ， ，求点 分 所成的比 及y的值．
解：由线段的定比分点坐标公式得
【例2】 如图所示， 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ，D是边AB的中点，G是CD上的一点，且 ，求点G的坐标．
解：∵D是AB的中点
∴点D的坐标为
∵
∴
由定比分点坐标公式可得G点坐标为：
即点G的坐标为 ，也就是 的重心的坐标公式．
3．演练反馈（投影）
（1）如图所示，点B分有向线段 的比为 ，点C分有向线段 的比为 ，点A分有向线段 的比为 ．
（2）连结A（4，1）和B（－2，4）两点的直线，和x轴交点的坐标是 ，和y轴交点的坐标是 ．
（3）如图所示， 中，AB的中点是D（－2，1），AC的中点是E（2，3），重心是G（0，1），求A、B、C的坐标．
参考答案：（1） ；（2）（6，0）、（0，3）；（3）用三角形基法作图得：A（0，5），B（－4，－3），C（4，1）
4．总结提炼
（1）定比分点的几种表达方式：
……向量式
……坐标式
……公式形式
（2）中点公式，重心公式要熟记．
（3）定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法．
五．板书设计
1．定比分点的定义
（1）内分点 3．例1
（2）外分点
a．
b．
2．分点坐标公式 4．演练反馈
a． 5．总结提炼
b．
