数列
教学目标1.使学生理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.
(1)理解数列是按一定顺序排成的一列数,其每一项是由其项数唯一确定的.
(2)了解数列的各种表示方法,理解通项公式是数列第 项 与项数 的关系式,能根据通项公式写出数列的前几项,并能根据给出的一个数列的前几项写出该数列的一个通项公式.
(3)已知一个数列的递推公式及前若干项,便确定了数列,能用代入法写出数列的前几项.
2.通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力.
3.通过由 求 的过程,培养学生严谨的科学态度及良好的思维习惯.
教学建议
(1)为激发学生学习数列的爱好,体会数列知识在实际生活中的作用,可由实际问题引入,从中抽象出数列要研究的问题,使学生对所要研究的内容心中有数,如书中所给的例子,还有物品堆放个数的计算等.
(2)数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想,应及早引导学生发现数列与函数的关系.在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的,“次序”便是函数的自变量,相同的数组成的数列,次序不同则就是不同的数列.函数表示法有列表法、图象法、解析式法,类似地,数列就有列举法、图示法、通项公式法.由于数列的自变量为正整数,于是就有可能相邻的两项(或几项)有关系,从而数列就有其非凡的表示法——递推公式法.
(3)由数列的通项公式写出数列的前几项是简单的代入法,教师应精心设计例题,使这一例题为写通项公式作一些预备,尤其是对程度差的学生,应多举几个例子,让学生观察归纳通项公式与各项的结构关系,尽量为写通项公式提供帮助.
(4)由数列的前几项写出数列的一个通项公式使学生学习中的一个难点,要帮助学生分析各项中的结构特征(整式,分式,递增,递减,摆动等),由学生归纳一些规律性的结论,如正负相间用 来调整等.假如学生一时不能写出通项公式,可让学生依据前几项的规律,猜想该数列的下一项或下几项的值,以便寻求项与项数的关系.
(5)对每个数列都有求和问题,所以在本节课应补充数列前 项和的概念,用 表示 的问题是重点问题,可先提出一个具体问题让学生分析 与 的关系,再由非凡到一般,研究其一般规律,并给出严格的推理证实(强调 的表达式是分段的);之后再到非凡问题的解决,举例时要兼顾结果可合并及不可合并的情况.
(6)给出一些简单数列的通项公式,可以求其最大项或最小项,又是函数思想与方法的体现,对程度好的学生应提出这一问题,学生运用函数知识是可以解决的.
教学设计示例
数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解数列的概念,了解数列的表示法,能够根据通项公式写出数列的项.
2.通过数列定义的归纳概括,初步培养学生的观察、抽象概括能力;渗透函数思想.
3.通过有关数列实际应用的介绍,激发学生学习研究数列的积极性.
教学重点,难点
教学重点是数列的定义的归纳与熟悉;教学难点是数列与函数的联系与区别.
教学用具:电脑,课件(媒体资料),投影仪,幻灯片
教学方法:讲授法为主
教学过程
一.揭示课题
今天开始我们研究一个新课题.
先举一个生活中的例子:场地上堆放了一些圆钢,最底下的一层有100根,在其上一层(称作第二层)码放了99根,第三层码放了98根,依此类推,问:最多可放多少层?第57层有多少根?从第1层到第57层一共有多少根?我们不能满足于一层层的去数,而是要但求如何去研究,找出一般规律.实际上我们要研究的是这样的一列数
(板书) 象这样排好队的数就是我们的研究对象——数列.
(板书)第三章 数列
(一)数列的概念
二.讲解新课
要研究数列先要知道何为数列,即先要给数列下定义,为帮助同学概括出数列的定义,再给出几列数:
(幻灯片) ①
自然数排成一列数:
②
3个1排成一列:
③
无数个1排成一列:
④
的不足近似值,分别近似到 排列起来:
⑤
正整数 的倒数排成一列数:
⑥
函数 当 依次取 时得到一列数:
⑦
函数 当 依次取 时得到一列数:
⑧
请学生观察8列数,说明每列数就是一个数列,数列中的每个数都有自己的特定的位置,这样数列就是按一定顺序排成的一列数.
(板书)1.数列的定义:按一定次序排成的一列数叫做数列.
为表述方便给出几个名称:项,项数,首项(以幻灯片的形式给出).以上述八个数列为例,让学生练习指出某一个数列的首项是多少,第二项是多少,指出某一个数列的一些项的项数.
由此可以看出,给定一个数列,应能够指明第一项是多少,第二项是多少,……,每一项都是确定的,即指明项数,对应的项就确定.所以数列中的每一项与其项数有着对应关系,这与我们学过的函数有密切关系.
(板书)2.数列与函数的关系
数列可以看作非凡的函数,项数是其自变量,项是项数所对应的函数值,数列的定义域是正整数集 ,或是正整数集 的有限子集 .
于是我们研究数列就可借用函数的研究方法,用函数的观点看待数列.
碰到数学概念不单要下定义,还要给其数学表示,以便研究与交流,下面探讨数列的表示法.
(板书)3.数列的表示法
数列可看作非凡的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,首先请学生回忆函数的表示法:列表法,图象法,解析式法.相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用 表示第一项,用 表示第一项,……,用 表示第 项,依次写出成为
(板书)(1)列举法
.(如幻灯片上的例子)简记为 .
一个函数的直观形式是其图象,我们也可用图形表示一个数列,把它称作图示法.
(板书)(2)图示法
启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐标,相应的项 为纵坐标,即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列 为例,做出一个数列的图象),所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
有些函数可以用解析式来表示,解析式反映了一个函数的函数值与自变量之间的数量关系,类似地有一些数列的项能用其项数的函数式表示出来,即 ,这个函数式叫做数列的通项公式.
(板书)(3)通项公式法
如数列 的通项公式为 ;
的通项公式为 ;
的通项公式为 ;
数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项.
例如,数列 的通项公式 ,则 .
值得注重的是,正如一个函数未必能用解析式表示一样,不是所有的数列都有通项公式,即便有通项公式,通项公式也未必唯一.
除了以上三种表示法,某些数列相邻的两项(或几项)有关系,这个关系用一个公式来表示,叫做递推公式.
(板书)(4)递推公式法
如前面所举的钢管的例子,第 层钢管数 与第 层钢管数 的关系是 ,再给定 ,便可依次求出各项.再如数列 中, ,这个数列就是 .
像这样,假如已知数列的第1项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前几项)间的关系用一个公式来表示,这个公式叫做这个数列的递推公式.递推公式是数列所特有的表示法,它包含两个部分,一是递推关系,一是初始条件,二者缺一不可.
可由学生举例,以检验学生是否理解.
三.小结
1.数列的概念
2.数列的四种表示
四.作业 略
五.板书设计
数列
(一)数列的概念涉及的数列及表示
1.数列的定义
2.数列与函数的关系
3.数列的表示法
(1)列举法
(2)图示法
(3)通项公式法
(4)递推公式法
探究活动
将边长为 厘米的正方形分成 个边长为1厘米的正方形,数出其中所有正方形的个数.
解:当 时,共有正方形 个;当 时,共有正方形 个;当 时,共有正方形 个;当 时,共有正方形 个;当 时,共有正方形 个;归纳猜想边长为 厘米的正方形中的正方形共有 个.
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