数学归纳法及其应用举例
课题:数学归纳法及其应用举例人民教育出版社全日制普通高级中学教科书数学第三册(选修II)第二章第一节
安徽师大附中 吴中才
【教学目标】
1. 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质.
2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用"数学归纳法"证明简单的与自然数有关的命题.
3. 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想.
4. 努力创设课堂愉悦情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率.
5. 通过对例题的探究,体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神.
【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析
【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解
【教学方法】类比启发探究式教学方法
【教学手段】多媒体辅助课堂教学
【教学程序】
第一阶段:输入阶段--创造学习情境,提供学习内容
1. 创设问题情境,启动学生思维
(1) 不完全归纳法引例:
明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话:财主的儿子学写字.这则笑话中财主的儿子得出"四就是四横、五就是五横……"的结论,用的就是"归纳法",不过,这个归纳推出的结论显然是错误的.
(2) 完全归纳法对比引例:
有一位师傅想考考他的两个徒弟,看谁更聪明一些.他给每人一筐花生去剥皮,看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着,看谁先给出答案.大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了;二徒弟只拣了几个饱满的,几个干瘪的,几个熟好的,几个没熟的,几个三仁的,几个一仁、两仁的,总共不过一把花生.显然,二徒弟先给出答案,他比大徒弟聪明.
在生活和生产实际中,归纳法也有广泛应用.例如气象工作者、水文工作者依据积累的历史资料作气象预测,水文预报,用的就是归纳法.这些归纳法却不能用完全归纳法.
2. 回顾数学旧知,追溯归纳意识
(从生活走向数学,与学生一起回顾以前学过的数学知识,进一步体会归纳意识,同时让学生感受到我们以前的学习中其实早已接触过归纳.)
(1) 不完全归纳法实例: 给出等差数列前四项, 写出该数列的通项公式.
(2) 完全归纳法实例: 证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况.
3. 借助数学史料, 促使学生思辨
(在生活引例与学过的数学知识的基础上,再引导学生看数学史料,能够让学生多方位多角度体会归纳法,感受使用归纳法的普遍性.同时引导学生进行思辨:在数学中运用不完全归纳法常常会得到错误的结论,不管是我们还是数学大家都可能如此.那么,有没有更好的归纳法呢?)
问题1 已知 = (n∈N),
(1)分别求 ; ; ; .
(2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗?
(培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力.概括能力是思维能力的核心.鲁宾斯坦指出:思维都是在概括中完成的.心理学认为"迁移就是概括",这里知识、技能、思维方法、数学原理的迁移,我找的突破口就是学生的概括过程.)
问题2 费马(Fermat)是17世纪法国着名的数学家,他曾认为,当n∈N时, 一定都是质数,这是他对n=0,1,2,3,4作了验证后得到的.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了 =4 294 967 297=6 700 417×641,从而否定了费马的推测.没想到当n=5这一结论便不成立.
问题3 , 当n∈N时, 是否都为质数?
验证: f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(5)=71,f(6)=83,f(7)=97,f(8)=113,f(9)=131,f(10)=151,…,f(39)=1 601.但是f(40)=1 681= ,是合数.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段--新旧知识作用,搭建新知结构
4. 搜索生活实例,激发学习兴趣
(在第一阶段的基础上,由生活实例出发,与学生一起解析归纳原理, 揭示递推过程.孔子说:"知之者不如好之者,好之者不如乐之者."兴趣这种个性心理倾向一般总是伴随着良好的情感体验.)
实例:播放多米诺骨牌录像
关键:(1) 第一张牌被推倒; (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下. 于是, 我们可以下结论: 多米诺骨牌会全部倒下.
搜索:再举几则生活事例:推倒自行车, 早操排队对齐等.
5. 类比数学问题, 激起思维浪花
类比多米诺骨牌过程, 证明等差数列通项公式 :
(1) 当n=1时等式成立; (2) 假设当n=k时等式成立, 即 , 则 = , 即n=k+1时等式也成立. 于是, 我们可以下结论: 等差数列的通项公式 对任何n∈ 都成立.
(布鲁纳的发现学习理论认为,"有指导的发现学习"强调知识发生发展过程.这里通过类比多米诺骨牌过程,让学生发现数学归纳法的雏形,是一种再创造的发现性学习.)
6. 引导学生概括, 形成科学方法
证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下:
(1) 证明当n取第一个值 时结论正确;
(2) 假设当n=k (k∈ ,k≥ ) 时结论正确, 证明当n=k+1时结论也正确.
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从 开始的所有正整数n都正确.
这种证明方法叫做数学归纳法.
第三阶段:操作阶段--巩固认知结构,充实认知过程
7. 蕴含猜想证明, 培养研究意识
(本例要求学生先猜想后证明,既能巩固归纳法和数学归纳法,也能教给学生做数学的方法,培养学生独立研究数学问题的意识和能力.)
例题 在数列{ }中, =1, (n∈ ), 先计算 , , 的值,再推测通项 的公式, 最后证明你的结论.
8. 基础反馈练习, 巩固方法应用
(课本例题与等差数列通项公式的证明差不多,套用数学归纳法的证明步骤不难解答,因此我把它作为练习,这样既考虑到学生的能力水平,也不冲淡本节课的重点.练习第3题恰好是等比数列通项公式的证明,与前者是一个对比与补充.通过这两个练习能看到学生对数学归纳法证题步骤的掌握情况.)
(1)(第63页例1)用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)= .
(2)(第64页练习3)首项是 ,公比是q的等比数列的通项公式是 .
9. 师生共同小结, 完成概括提升
(1) 本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法;
(2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法,它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种,完全归纳法只局限于有限个元素,而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠性,数学归纳法属于完全归纳法;
(3) 数学归纳法作为一种证明方法,其基本思想是递推(递归)思想,使用要点可概括为:两个步骤一结论,递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉;
(4) 本节课所涉及到的数学思想方法有:递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想.
10. 布置课后作业, 巩固延伸铺垫
(1) 课本第64页练习第1, 2题; 第67页习题2.1第2题.
(2) 在数学归纳法证明的第二步中,证明n=k+1时命题成立, 必须要用到n=k时命题成立这个假设.这里留一个辨析题给学生课后讨论思考:
用数学归纳法证明: (n∈ )时, 其中第二步采用下面的证法:
设n=k时等式成立, 即 , 则当n=k+1时,
.
你认为上面的证明正确吗?为什么?
【教学设计说明】
1.数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.我认为不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.为此,我设想强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中,把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.
2.在教学方法上,这里运用了在教师指导下的师生共同讨论、探索的方法.目的是加强学生对教学过程的参与.为了使这种参与有一定的智能度,教师应做好发动、组织、引导和点拨.学生的思维参与往往是从问题开始的,本节课按照思维次序编排了一系列问题,让学生投入到思维活动中来,把本节课的研究内容置于问题之中,在逐渐展开中,引导学生用已学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的更新与拓展.
3.运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题,两个步骤缺一不可.理解数学归纳法中的递推思想,尤其要注意其中第二步,证明n=k+1命题成立时必须要用到n=k时命题成立这个条件.这些内容都将放在下一课时完成,这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质,也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向.
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