正切、余切函数的图象和性质
正切、余切函数的图象和性质 张思明 教学目的：（略） 教学过程择录： 一、引题： 师：对比上一节的习题，请同学们看一看自己的作业本，对正弦和余弦函数，在作业中，我们已涉及了多少类型的问题？ 生众：P159（11）正弦，余弦函数的定义域： P158（3）正弦，余弦函数的最值（值域）： P158（6）正弦，余弦函数的奇偶性 P159（8）正弦，余弦函数的单调性 P159（7）正弦，余弦函数的应用一-----比大小 P158（4）正弦，余弦函数的周期（最小正周期） P159（12）正弦，余弦函数的图象 P160（16、17）正弦，余弦函数性质的应用 教师在黑板上书写：（1）定义域（2）值域（3）奇偶性（4）单调性（5）比大小（6）求最小正周期（7）作图（8）应用 教师：今天我们来学习正切、余切函数的图象和性质，可以想一想，我们要觖决什么问题？ 生众：不就是上面这几点问题吗？ 教师：说的不错，我们就是要来解决把“正弦、余弦函数”换成“正切、余切函数”后（1）~（7）后面加一个“是什么？”这样一些问题。请同学们带的这些问题看书5分钟（P153~P157）。 [评述]：这里是通过作业小结的方式引入问题。学生常常是很肓目的做作业，很少观察作业所涉及的问题类型和范围。教师有意识地引导学生作这种观察，既培养了学生看课本的习惯，又自然引出了今天的课题和要探索解决的问题。 二、学生自己回顾性设问，（自问自答） 5分钟以后：学生阅读完毕，教师指导第一组学生（7人）为相邻的同桌的同学（第二组学生）就前面七个方向提一个有关正、余切函数性质的问题，要求是后面的同学不要提前面已经提到过的问题，并请同桌同学（起立）对着大家回答。做完后，问、答的两组学生角色交换。其它组的同学一边听，一边作判断，对的放过，不对时请同一行的同学予以更正： 生1：正切函数的定义域是什么？邻生答：除了，k∈Z外的全体实数。 生2：正切函数的值域是整个y轴吗？邻生改正：应说成是全体实数 生3： ……… 生10：学过四种三角函数都是奇数吗？都是增函数吗？邻生答：不对，反例是余弦函数） 生11：正切函数是它定义域上的增函数吗？（好问题！）邻生答：是，其它学生更正：不是。教师追问理由……… 生12：正切函数是一个周期为2的函数吗？（含义不清的问题）邻生回答：准确地说正切函数是最小正周期为的周期函数。 生13：余切函数也是一个以2为周期的周期函数，这个说法对吗？邻生：不对， 另外的学生答：对，……… 学生即席讨论………。 生14：怎样由y=tgx的图象得到y=ctgx的图象？（好问题），邻生答：可以先把y=tgx的图象以x轴为轴，翻转180度，再向右平移。另一个邻座同学：也可以先把y=tgx的图象以y轴为轴，翻转180度，再向右平移。教师插说：我怎么不懂了？为什么把y=tgx的图象以x轴为轴，翻转180度和把y=tgx的图象以y轴为轴，翻转180度的效果一样？…学生讨论得到：因为y=tgx是奇函数，f(-x)=-f(x)。教师又插说：非要先翻转后平移吗？…学生讨论略。 [评论]学生自己设计问题，自问他答，其它学生协助判定是否正确，可以在很大程度上调动学生自己学习的主动性。但问题的难易控制有一定难度，先问的人设计问题相对容易些，可以用往复问答的方式来解决（第一个提问的学生将回答最后一个问题）。邻座的学生作答，同一横行同学做答的是非判定，这样做目的是让反馈的更快、更广些。从学生问答情况看，基本达到了目的。 三、自己提出问题，设计问题，当堂练习，自己作评价。 师：下面请第3组同学为大家设计一组课堂练习（2分钟）可以讨论。要求是七个方面都要覆盖。（七人上黑板，学生之间有交流，组长分配协调一人一个题，不使重复，2分钟后题目完成）请第四组同学上黑板解：其它同学在下面解。再请第5组同学：评价题目和解法的长短。请第6组同学对应设计课后作业（C组题）。请第7组同学：作全课的小结（谈自己认为感觉最深几点） [评述]活动覆盖面大，学生在教师控制的“方向”上直接参与练习设计，求解，并且加入练习题设计及解法的评价和全课小结，目的是让学生学会“品题”，“品课”，这本身是对学生掌握学法的一种引导，对培养学生的自学能力十分重要。 第3组学生上黑板设计的题目： （1）求函数的定义域。 （2）求函数的值域。 （3）比较和的大小。 （4）函数最小正周期是什么？ （5）求出的单调增区间。 （6）作出函数的图象，并说明它是由y=tgx经过怎样的变换得到的。 （7）讨论下面函数的奇偶性和最小周期：，y=tg (mx+n)+b 学生D组7人上黑板解题。：求解过程及改错讨论略。 学生E组评价：首先对D组的解答做出评判（略） 学生15：我觉得（3）设计的好，它要求先用诱导公式转化成同名函数再比大小。 学生16：我先纠正解答中的错误，原解认为最小正周期是，这是一个明显的错误，因为它不是正数。我觉得（4）设计的目的就是要考查最小正周期的表达式中绝对值这一个最容易被忽略的地方。我认为此题设计的很好。 学生17：我觉得（5）设计的不很好，原因是，对数后面根号似乎多余，因为对数对真数的要求和算术根大体一致。又复合函数的内、外层函数y=lgt, 都是增函数，再讨论递增区间，显得“挖潜”不够，不如将y=lgt或换成某种减函数如。这样可以考察到更多的复合函数单调性的知识。 …… [评述]：这里有一个集体协作的场景，组长“派”任务和个人主动抢任务结合，学困生强以优先，各尽其能，各显所长。教师可以在旁边观察、欣赏、记录。作出鼓励或引导性的“旁白”。 第七组的两个代表，上来做了全课的总结： 学生17：今天我们学习了正切、余切、函数的性质，我觉得比较重要的是要把握函数的性质，就要去研究什么东西？这里面主要是定义域，值域单调性、奇偶性、周期性，和由此得到的函数的图象。对于正、余切函数的性质我觉得通过它们的图象去记忆，去理解是最容易的。只要记住函数的基本图象，我们就可以说出相应的性质。简单地说可以从图象直观走向看增减性、是否对称看奇偶性、是否可重复看周期性………。 学生18：我觉得应该补充的是：学习相关、相似知识时应抓住区别。“切”函数相对于与“弦”函数的区别在于：无最值，定义域“断续”，周期“变短”，增减性变“单纯”。 从我们的解决过问题看，用到最多的是转化的思想：即把一个对复合函数性质的讨论转化为对最基本的三角函数的性质的应用。如：求定义域，就是利用基本余切函数y=ctgt的定义域是t≠k，k∈z，再把看成一个整体。令 从而解决问题。所以抓住最基本的函数的性质是解决问题的根本。 教师：大家谈的都很好，特别是评价组的同学不仅做出题目，还能“品出”出题者的本意，小结做的也很好。我请大家注意这节课的过程实际上给了我们学习新内容的一种宏观的程序：温故（相关知识准备）→新的学习对象与旧知识的联系→类比提问、差异思考发现问题和学习目标→找出规律，解决问题→应用成果，练习巩固（发散）→归纳收缩（小结）。这里的程序还没有完，还有一段是：→进一步的发散思考，探索新的问题和规 律。这部分内容常常是在课外进行的。 记得最后一位同学的小结中提到的“根本”是基本函数的基本性质，这真的是很“根本”，因为我们今天所解决的问题都被化归到这个地方。 [评述]：学生的小结和评价不一定很完整、全面，可以一人一点，互相补充。即使有错误，教师也不要急于纠正。最引导学生自己发现、纠正。也可以让其它学生来补充更正。 教师的评价应是激励性的。另外应引导学生注意学法，特别是对高一的学生。 作业：A 组：P157~158（练习）（直接勾画在书上） B组：P161、18、20、21、22、23 C组：请第六组同学上黑板布置 （1）求函数y=tgx+cos2x和y=tgx-ctgx最小正周期。 （2）作出y=tgx·ctgx的图象。 （3）讨论y=atg(mx+n)+b (a>0，m≠0) 的性质，及各个文字对函数图象的影响。 （4）讨论 讨论函数y=sin9(cos7(tg5(ctg3x)))的单调递减区间。 教师补充：（5）当较小时，如0<x<5°在一个有函数功能的计算器中，键入tgx 和sinx，比较显示的结果，看看有什么发现？在力学题的考试中，有时常要计算小角度的正弦或正切值，在不让使用计算器的和不能查表的情况下，你有什么补救办法？ [评述]：A、B是基本要求，C组作为选做或探索题。让学生设计C组题也是为了调动学生自主学习的积极性，因为学生更乐于解决自己的问题。如C组题的（1）（2）设计的就不错。比如：（1）y=tgx-ctgx中的最小正周期不是，而是。这就需要借助于切割弦把它化成-ctg2x来发现。（2）可以看出学生试图将结果一般化，虽有一定困难，但值得鼓励提倡。有时也会出“问题”。如（3）的设计意图很好，综合应用的意识特别强。可以看出的学生的设计意图是把已学过的几种函数的性质“综合”应用到一起，出这道题的学生平时能力强、反应快，但有重难题，忽视基本的倾向。我看到这题在没有反三角函数知识的情况下，求解、表达都有困难，已超出学生现有的水平，提出大家可以先思考而让设计提出该问题的同学下次介绍他的解法。在下次课上这位同学说他出题时考虑不够，出完题没想解题时候的困难，定义域不好描述，单调区间写出有困难。我先肯定了这位同学的出题意图，然后说实际问题有可能是这样的。我们在第一轮学习时应注意基本。就这道题来说，将来学习反三角函数知识再解可能更容易一些，另一个办法是用计算机（mathcad）软件，可以作出图象如下，从而可以分区间得到近似解。x=1，1.0001---1.005 f(x)=sin(9cos(7tg(5ctg(3x))) 这样做的目的是既给出激励性`的评价，又通过问题中暴露的困难激发进一步学习的动力。应该承认这样做是有一定风险的，学生出的题目也会常常使教师陷入窘境，但师生在同一个起点去思考，去碰壁，去绕岩避礁，长使教师与学生都能得到更多的收获。许多思考的技巧和解决问题的策略都是在这样的交流中，无形的被激发、转化、吸收。 摘自北京大学附属中学
