方程组在解计算题中的应用

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方程组在解计算题中的应用

为什么要讨论方程组在解物理计算题中应用这一问题呢？主要是考虑到与高中解题思路的衔接问题，在高中物理中强调的是对物理过程的分析和描述，而描述物理过程的数学工具就是用物理公式建立相关的方程，一个比较复杂的物理过程，往往需要建立好几个方程才能奏效.另外因不少学生在拿到一道计算题时他的着眼点往往不是根据题给条件，去考虑如何用所学的物理原理去分析"条件"、用物理公式去描述这个"条件"，而把注意力放在了所要求的结果上去了，其实当你把物理条件用物理公式正确地表述出来之后，其结果自然会水到渠成得出的.再者在使用方程组解题时，要用到多个未知量，我们的学生会耽心怎样把这些未量一一消掉，当然数学基础不太好的同学，对方程组的解会有一定的困难，对此应加强这方面的训练.本文想通过一个典型例题来说明这一观点.
  例题.用密度是ρ_甲=4╳10³kg/m³的材料制成的空心球甲和用密度ρ_乙=8╳10³kg/m3的材料制成的空心球乙，两球的质量相等，乙球恰好在水中悬浮.
（1）若把甲球置于足够多的水中时，求甲球露出水面的体积和甲球总体积之比.
（2）在甲球的空心处有的适量酒精，使甲球也可在水中悬浮，求酒精的体积和空心部分体积之比（ρ_酒精=0.8╳10³kg/m³）.

分析：基于利用方程组的解题思路，我们先假设甲球的体积为V甲，乙球的体积为V乙，两球的空心部分的体积均为Vo，水的密度为ρ_水=1.0╳10³kg/m³，甲球放入水中后排开水的体积为V_排，甲球里面酒精的体积为V_酒精.
   接下来的思路是如何根据题给条件利用相应的物理原理列方程了：
  （1）根据两球的质量相等的条件有：ρ_甲（V_甲-Vo）=ρ_乙（V_乙-Vo）-----（1）   （2）根据乙球恰好在水中悬浮的条件有，由重力等于浮力得：ρ_乙（V_乙-Vo）g=ρ_水V_乙g----------（2）
  （3）将甲球放入水中后因它是处于悬浮状态，所以它的重力也等于所受到的浮力， 于是有：
  ρ甲（V_甲-Vo）g=ρ_水V_排g---------（3） 
  （4）甲露出水水面的体积和甲的总体积之比等于：（V_甲-V_排）/V_甲-----------（4）
  由上可见为了解答第一小题，列出了3个方程（第四式是本小题要求的结论），涉及到V_甲、Vo、V_乙和V_排等共四个未知量，解起方程来也是挺复杂的.那么为什么要这样做呢？原因是只有这样才符合物理学的思维方法，所谓物理学的思维方法是每一物理现象都符合一定的物理规律，即符合某一物理定律，我们中学里学物理的任务是用学过的物理原理去描述物理现象，将来如果是研究物理的话，就要倒过来：根据你所发现的新的物理现象，去总结规律了.何况进入高中后，解物理题时一般都采用这种方法，如果能在初中就加强这方面的训练，对未来高中学习物理打下一个良好的基础，也是初高中物理教学衔接的一个方面.
   当你把物理题中给出的条件一一用物理公式把它表达出----即把它"翻译"成数学方程时，其实你就基本上完成了出题者交给你的任为了.接下来的问题是如何解数学方程的事情了.这样的解题方法，只要题目没有出错，列出未知数再多，都可以在解题的过程中被一一消去，达到成功的彼岸：
  （1）将甲、乙的密度代入1式，得V_乙=（V_甲+Vo）/2.
  （2）将乙和水的密度代入2式得：8（V_乙-Vo）=V_乙从而得：7V_乙=8Vo,再把（1）中得到的V_乙代入左式，又有：
  7V_甲+7Vo=16Vo →Vo=7V_甲/9
  （3）把Vo=7V_甲/9代入方程（3）得V_排=4（V_甲-7V_甲/9)=8V_甲/9,这样一来最终结果为：
  （V_甲-V_排）/V_甲=（V_甲-8V_甲/9）/V_甲=1/9
  对于第二小题，只要根据甲球的空心部分加了酒精后能悬浮在水中，甲球和酒精的总重量等于它们所受的浮力就可搞定：
  ρ_甲（V_甲-Vog）+ρ_酒V_酒g =ρ_水V_甲g---------（4）
  最终得V_酒/Vo=5/28

  看了上述分析和解题方法，不知你有什么想法和问题都可以发e-mail来进行交流.