对数函数中与二次函数有关的问题
教学目的： 通过一些例题的讲解 , 对对数函数的性质、图象及二次函数的一些问题进行复习，使学生加深对函数的认识 , 能够对一些有难度的题进行分析。 教学难点： 复合函数中定义域及值域的求解。 换元后新变量的定义域的确定。 教学过程： 在前段时间中我们学习了对数函数和它们的一些性质 , 下面我们就先来复习一下有关知识 ( 点击性质 , 见幻灯片 2) 。 下面我们来做两道复习巩固题。 1. 求 的定义域。 （要求一个比较复杂的函数的定义域，首先要看清这个复杂函数是由哪几个简单函数构成的．在此是三个以十为底的对数函数，所以我们只要考虑其真数部分要大于０即可．由此可列出三个不等式．习惯上用大括号括起来，表示要同时满足．） 分析： x>0 ０可以写成 lg1 ，而该函数为单调递增函数，由此可解出． 综上所述 x>10 。 2. 试比较 与 的大小。 对于一般的比较大小问题，我们可以通过函数的增减性来解决．这道题目显然也是通过此途径来解决．但是其给出的条件不是很明确，那么我们就只能先从对数函数本身的条件作为着手点． 解： 由这个条件，可以知道这个函数是单调递增的，即真数大的函数值就大． （请学生口述，屏幕显示．第三条可能不会考虑） 则有：当 x-1>3 即 x>4 时， ＞ 当 0<x-1<3 即 1<x<4 时， ＜ 当 x-1=3 即 x=4 时， ＝ 上面两题主要是让同学们在解决对数函数问题的时候，要看清起定义域，对于约束条件要写完整同时要注意一些隐藏条件，细致分析问题． 对于一般的对数函数中有关定义域、值域以及单调性问题我们能够比较熟练的解决 , 但是我们在遇到的一些问题中往往对数函数不是单独出现的 , 它总是和其他函数同时出现 , 特别是二次函数 , 那么如何来解决这类比较复杂的问题呢 ? 这就是我们这节课所要讲的内容。在讲解例题之前我先强调一点 , 我们做任何题 , 不管是简单的还是复杂的 , 关键的是抓住其基本性质 , 尽量把问题转化到我们所熟悉的情况下进行解决。 那么要把对数函数和二次函数结合起来 , 最常见的就是复合函数。下面就先来看这么一道题 例 1 的单调递增区间是（）。 A. B. C. D. 分析： 由于以 1/2 为底的对数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，也就是要求该二次函数的单调递减区间。下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题。对于该二次函数进行配方 , 我们可以很容易看出是一个开口向上的抛物线 , 则其在 x 小于－ 1/2 时为单调递减， x 大于－ 1/2 时为单调递增。 那么该题是否到此为止了呢 ? 其实在此对于上面的二次函数是有范围的，也就是说 即 x<-2 或 x>1 综上所述，我们应该选择Ｂ 好 , 我们来看一个一般问题 , 对于类似与上面这题的复合函数 的单调区间是怎样的． 该二次函数图象为一开口向上的抛物线。 若该抛物线与 x 轴有两个交点 若该抛物线与 x 轴只有一个交点 若该抛物线与 x 轴没有交点 若函数 的值域为一切实数 , 求实数 的取值范围。 按照通常的做法，要使函数有意义，必须有： 对一切实数 x 都成立 ，即 其实当 时， 可以看出 可见值域并非为 R ，说明上述解答有误。 要使函数 的值域为 R, 即要真数 取遍所有正数 , 故二次函数 的图象与 x 轴有交点 , 所以 , 得 或 。 故实数 a 的取值范围为 我们在考虑这类复合函数问题的时候 , 要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的定义域和值域的变化。 以上这两题中的二次函数是作为对数函数的一部分出现的 , 有的时候会和、反过来 , 对数函数作为二次函数的一部分出现 , 下面我们来看这么几道题。 若 , 且 , 求 的最值。 分析 : 既然是求 的最值 , 先对其整理 , 可得 : 而 。 这道题比较简单 , 但要注意对数的计算 , 在最后是通过配方求出最值的。 若 有两个小于 1 的正根 , 且 ，求实数 的取值范围。 分析 : 既然是对数函数 , 我们先不管后面的条件 , 该怎么做就怎么做 , 即先化简函数方程。 则有 由于形式有点复杂 , 我们可以作个代换 , 在此 , 要注意 , 由于变量的代换 , 则其定义域也会随之改变 , 有 : x<1, 则 t<0 下面由学生回答如何利用韦达定理列出一系列的不等式 : 在此题中 , 注意换元后 , 其变量的定义域的变化。 若 恰有一个实根 , 求实数 的取值范围。 分析 : 这个式子中出现的对数函数和前面的有所不同 , 但我们首先做的工作就是把它化简 , 只是这里和前面有所不同。前面是把真数部分的乘除化开来 , 而在这里是把对数的加减合起来。先把它化简我们可以得到 : 这时出现了同底对数 , 但右边前面有 2, 所以我们可以怎么样 ? 我想把这个 2 除到左边去 , 一方面是为了提醒大家 , 左边的真数部分 2x 是大于 0 的 , 另一个作用我们下面会有用。于是我们得到了 : 下面就是分析方程 只有一个实数根的问题 如果在这里简单就认为把其平方得到一个二次函数 , 再令 即可的话 , 似乎总有点心有余悸 , 好象有问题。下面我介绍一种方法来具体研究。 我们可以把这个方程写成两个函数的形式 : 与 要求方程有一个实根 , 也就是说 , 这两个函数的图形有且仅有一个交点。 在下图上我们可以看出在三种情况下 , 两个图只有一个交点。 于是我们可以列出式子 : 最后解得 : 在这里 , 我们充分利用了图形来解决根的问题。 备用题 : 为常数 , 试分析方程 的解的情况。 小节 : 第一组为复合函数中有关定义域、值域的问题。注意两点：一是复合函数单调性问题；另一个是整个函数的定义域的求解。 第二组为含有对数函数的复杂函数，通过换元可转化为二次函数进行解题。也注意两点：一是对数运算的熟练运用；另一个是二次函数中根的存在性分析。 在解决对数函数问题时，注意隐含的限制条件，对其定义域、值域要细致分析。 教学后记： 由于是多媒体授课 , 在题目运算较为复杂的时候 , 过程直接出现在屏幕上 , 使学生没有时间自己进行计算 , 今后的教学中应值得注意。
