高中数学课堂教学中创新能力培养的实践与思考
随着数学教材改革的深入开展，提高学生能力的问题越来越引起人们的重视。为了进一步提 高数学学习的质量，有必要对能力问题开展进一步的研究.心理学研究指出，能力分一般能 力和特殊能力。一般能力是指顺利完成各种活动所必备的基本心理能力，特殊能力是指顺利 完成某种特殊活动所必备的能力。在数学教育领域内，一般能力包括学习新的数学知识的能 力，探究数学问题的能力，应用数学知识解决实际问题的能力，提高这些能力将大大推动学 生素质的提高。数学创新能力是数学的一般能力，包括对数学问题的质疑能力、建立数学模型的能力（即把 实际问题转化为数学问题的能力）、对数学问题猜测的能力等，在数学教学过程中，教师应 特别重视对学生创新能力的培养，使每一个学生都养成独立分析问题、探索问题、解决问题 和延伸问题的习惯。让所有的学生都有能力提出新见解、发现新思路、解决新问题。数学创 新能力的培养相比数学知识的传授更重要，数学创新能力的培养有利于学生形成良好的数学 的思维品质以及运用数学思想方法的能力。
一、 培养学生善思、善想、善问的数学品质，提高质疑能力
就研究性学习而言，需要培养学生发现问题和提出问题的能力，而发现问题和提出问题需要 一定的方法，这些方法应在课堂教学中逐步培养。高中学生对数学知识的获得大多表现在记 忆和解题上，缺乏对知识间的联系和分析，被动接受的多，主动反思的少。
如我在讲授《数学归纳法》一课时，有意设计了下面三个问题。问题1：今天，据观察第一 个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是，我 得出：这所学校里的学生都是男同学。（学生：窃窃私语，哄堂大笑——以偏概全）。问题 2：数列{an}的通项公式为an＝（n2-5n+5）2,计算得a1＝1,a2＝1,a3＝1, 可以猜出数列{an}的通项公式为：an＝1(此时，绝大部分学生不作声——默认，有一学生 突然说：当n＝5时，an＝25,a 5≠1,这时一位平时非常谨慎的女生说：“老师今天你第 二次说错了”)。问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2*180°，五边形的内 角和为3*180°，……，显然有：凸n边形的内角和为（n-2）*180°。（说到这里，我说： “这次老师没有讲错吧？”）上述三个问题思维方式都是从特殊到一般，问题1、2得到的结 论是错的，那么问题3是否也错误？为什么？（学生茫然，不敢质疑）。合理地利用材料， 提出好的问题，引出课题，揭示了本 节知识的必要性。通过让学生自主参与知识产生、形成的过程，获得亲身体验，逐步形成一 种在日常学习与生活中爱置疑、乐探究的心理倾向，激发探索和创新的积极欲望。不仅使学 生理解了归纳法，而且掌握了分析、判断、研究一般问题的方法。
高中学生的数学创新能力主要表现在：①在解题上提出新颖，简洁，独特方法。②运用类比 的方法对某些结论进行推广和延伸，获的更一般的结论。如2000年上海秋季高考第12题：“ 在等差数列{an}中,若a10＝0，则有等式a1+a2+……an＝a1+a2+……+a19-n(n＜19,n∈N＝成立。类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中,若b9＝1， 则有等式______成立”。用有关等差数 列和等比数列概念和类比的方法，辩明等差数列和式两边元素下标的关系；运用类比的手段 ，将已知等差数列的性质拓展到等比数列的性质，无疑发现了解决上述问题的通道，这是一个创新的过程。类比的结论不一定都正确，对问题的质疑比单一的解题，其效果是不一样的，如在等差数列{an}中，sm＝a1+a2+……+am,则sm,s2m-sm,s3m -s2m成等差数列，能否类比到等比数列{bn}中，sm,s2m-sm,s3m-s2m成也等比数列，许多学生可能会证明它是正确，但这结论恰恰是错误的(当a1＝2，公比q＝-1时，s2＝s4-s2＝s6-s4＝0）。再 如，2000年上海春季 高考题：设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤-1时，y＝f(x)的图象是经过点(-2,0)，斜率 为 1的射线。又在y＝f(x)的图象中有一部分是顶点在（0,2），且过(-1,1)的一段抛物线，试 写 出f(x)的 表达式,并作出图象。高考结束以后就有学生问：抛物线是否仅二次函数的图象？ 如果不是，那么它的解不唯一。③通过对问题的变式引出新的问题进行探索。譬如，在求数列an＝2n-1的前n项和时。可以引出数列{a3n}和{α3n}的前n项和，让学生进行充分的讨论，前一问题仍是等差数列的前n项和，但首项、公差都已经变化，认知上没有冲突，学生是可以解决的；后一问题如果学生不深入研究数列的通项公式，那么他就无法求此数列的前n项和.探 究等差数列相关知识，对学生而言应是创新性思维；如果再将产生的结论向等比数列联想，可使这种创新思维得到延伸，达到不断激发学生创新欲望之目的。
二、建立新的数学模型并应用于实践的能力
数学问题来源于社会实际，又指导着人们的工作、学习。对不同的问题建立不同的数学模型 ，有利于学生参与社会实践、服务社会。如某商品的单价随时间而变化，假设A同学每次买a 元的商品，B同学每次买b件的商品，试比较A、B两同学同时购买该商品两次，谁较合算？ 可以让学生带着上述问题进商场，同一商品在不同的商场价格可能是不一样的，组织两组学 生各自收集一下所需的数据,找到此商品在这两家商场内的单价分别为m元和n元(把随时间变 化转化为随商场而变化)，分别计算出A，B同学两次购买这商品的平价价格 2a 和 bm + bn
a + a 2b
m n
建立不等式作差，得A平均-B平均＝2mn-m+n＝(m-n)2≤0，就能说明谁更合算，质疑是否为整数，上述解 m+n 2 2(m+n)
答是否最合理。再如上网费与上网 时间的关系也可以让学生上电信局去采集相关的数据。通过实践培养学生收集信息，分析处 理信息和实际问题数学模型化的能力。
（1）上述解决问题过程可概括为：
（2）解决上述问题的思想方法为：
问题一、二可以分别建立不等式和函数的数学模型来解决。又比如2003年上海春季高考第22 题是有关工资问题，可以建立等差、等比数列的数学模型。这些问题都有各自的实际背景， 要解决这些问题，除了要熟悉有关的实际背景，更关键的是要通过审题、分析建立相应的数 学模型，利用已有的数学知识、数学思想方法、计算工具来解决相关的实际问题，体验数学 模型化的价值，同时培养了学生实践和创新能力。数学来源社会实践，又服务于社会实践， 创新能力型问题很多，要求有高有低，我们不能要求学生一一掌握，但让他们知道这些问题 共同的特点，探求问题解决的一般方法。
高中数学中创新方法可以归纳为以下几类：从特殊到一般、从一般到特殊、联想与类比、建 模、化归与转化、引申与拓展等。在数学教学中，教师要特别注意培养学生根据题中具体条 件，自觉、灵活地运用数学思想方法，根据不同的类型探索出一般的规律；在教学过程中， 通过变换不同思考角度，就可以发现新方法、新问题，制定新策略、解决新问题。
本人认为，高中学生数学创新能力的培养贯穿于整个数学课堂教学过程中，要不失时机地让 学生进行类比、推广、探究、质疑，培养学生的数学创新能力、发展学生的一般能力，为终 身学习打下扎实的基础。
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