求组合图形面积的基本解法与思路（上）

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求组合图形面积的基本解法与思路（上）

（湖北钟祥市实验小学 沈家金）
    求组合图形的面积是小学数学教学中的难点之一。这类题目由于熔识图分析、基本几何图形的特性及计算 、空间想象能力于一体，知识、能力的综合性强，故学生解题时往往感到无从下手，其重要原因就是没有掌握 这类题的解题思路和方法。下面就这个问题谈谈自己的一些体会。
    （附图 {图}）
    例１．下面图中的三角形是等边三角形，边长是３厘米，求阴影部分的面积。
    （附图 {图}）
    按上述方框图，本题的思维流程是：
    （附图 {图}）
    组合图形可谓千变万化，但解题的基本思想是通过一定的方法，对图形进行“凑整”，使不能直接求解的 不规则图形转化为基本图形或其组合形式，然后根据已知条件进行加、减或直接计算。下面介绍一种思路程序 图，依据以下框图；引导学生按照一定的思维程序，迅速找到解题的最佳途径。
    按思维流程图分析求解，目标明确，途径简捷，当然，在应用中不一定非要按此格式分析。在开始阶段， 可让学生按框图在心中用自问自答的方式分析，一旦熟练，就会运用自如。
    如所求阴影部分不是基本图形，则需用分解、隔离、组合、平移、旋转、割补等方法将其转化成基本图形 或其相加减的形式，概括起来可分为两类。
    １．分解、隔离、组合
    此类方法是对原图进行分或合的处理，使其组合的规律和结构特征进一步显露出来，以利求解。
    例２．下图是一个等腰三角形，并且有一个内角是直角，求阴影部分的面积（单位：分米）。
    （附图 {图}）
    按思维流程图，引导学生对原图进行这样分析：所求阴影部分是学过的基本图形吗？（不是）是由基本图 形组合而成的吗？（是）有几个基本图形？（两个。一个等腰直角三角形，一个扇形）是怎样组合成阴影部分 的？（三角形面积减去一个扇形面积）各图形求面积的基本条件是否具备？（具备。三角形的底和高都是６分 米，扇形的圆心角是４５°，半径是６分米）至此，通过分解，从未知到已知，使问题得到解决。
    例３．求右图阴影部分面积。（单位：厘米）
    （附图 {图}）
    此题可以这样引导学生分析：阴影部分是不是基本图形？（不是）图中有哪些基本图形？（两个扇形，一 个长方形）各图形求面积的条件是否具备？（具备）阴影部分能否和别的图形组成一个基本图形？（能）这个 图形是什么？（图中大空白部分与阴影部分组成了一个大扇形）要求阴影部分面积只需求出哪一部分面积？（ 图中大空白部分）这一部分面积又该怎样求呢？至此，学生明白，解题的关键是要求出图中大空白部分面积。 这时，可将这部分图分离出来单独研究，这就是所谓的隔离法，如右图所示。
    （附图 {图}）
    这样就很清楚看出，空白部分为长方形与扇形之差，其面积为：２×４．８５－３．１４×２［２］×１ ／４＝６．５６（平方厘米），原题即可迎刃而解。
    例４．求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）
    （附图 {图}）
    按前面的思维流程图进行分析，本题可分解成相对独立的两个子问题分别求解后，再加起来。
    （附图 {图}）也可将图中两阴影部分重新组合成一个完整的基本图形来考虑，如：
    （附图 {图}）
    可见，对于一般求组合图形的问题，其求解途径是比较多的，但要注意启发学生寻求最简的解题方法。总 而言之，分解、隔离、组合是解答基本组合图形问题最常用、最有效的方法。一般来说，凡基本组合图形问题 ，只要适当分一分、隔一隔、合一合，都可以得到正确解题途径和方法。
    ２、平移、旋转、割补
    此类方法是通过对图形的平行移动、定点或定轴旋转、割补等手段，使不规则、零散的图形变成基本图形 或其它便于求解的形式。
    例５．求下列各图阴影部分面积。
    （附图 {图}）
    （图１）
    （图２）
    （图３）
    图１将左边阴影部分向右边阴影部分平移靠拢可转变成一个完整正方形，这种方法即平移法。
    图２将右边半圆阴影部分以Ｃ为定点向左旋转９０°就可变成一个完整的扇形，这种方法即是定点或定轴 旋转法。
    图３将左边半圆阴影部分按虚线分割下来补于右边，则阴影部分转变成一个完整长方形，这种方法即为割 补法。
    对一些较复杂的组合图形问题，还需要应用一些特殊解法，本文将在下一部分作详细介绍。