重视课本原题的拓展

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重视课本原题的拓展

在初三数学复习中，我们总想到利用较短的时间取得较好的效果，重点是精选例题和习题，搞题海战术，得不偿失。在中考中总有源于课本例题和习题，利用课本例题或习题进行横向、纵向拓展，抓好系列题目的训练是一个行之有效的方法，能收到事半功倍的教学效果。
如原题：如图（1）已知AB是⊙O直径上一点，AD和过C点的切线垂直，垂足为O，求证，
AC平分∠DAB，即∠ABC=∠ADC
评注：这是一道较简单的题目，有好
几种方法：可以连结BC利用直径所
对圆圈角是直角，再利用互余算式、
弦切角定理等从而得证；也可以连结
OC利用切线的性质得证。
现进行原题拓展：
1、把原题横向拓展
  （1）把原题中的切线向上平移改为⊙O的割线，其它条件不变（如图2），求证：∠ABC2=∠A。
   评注：此题仍可利用原题的证明，连结BC2，则∠AC2B=900，又∠AC1D=∠B，可得证。
（2）把原题中的切线继续向下平移，变为与圆相离，此直线记为L，提出问题，怎样在此直线上找出
一点C使∠ABC=∠ADC
评注：此题的解法由前2小题的解法
得到启发：作OE⊥L交⊙O于F，连
结AF并延长交L于C，则点C即为
所要找的点C（证明略）。
1、纵向拓展：
  （1）若原题条件不变，可以增加结论，求证：AC2=AB·AD
评注：只要证△ABC∽△即可。
  （2）若将原题中条件稍加变化，可改为AB为⊙O直径，CD为⊙O切线，E为切点，AC⊥CD，BD⊥CD
  ①求证：AC+BD=AB，OC=OD （如图4）
　②若设AC=a  CD=b  BD=c
求证：CE、DE是一元二次方程x2－bx+ac=0的两根
评注：①中连结OE，证AC+BD=2OE=AB
②中只需证CE·DE=ac=AC·BD
△ACE∽△EDB即可。
 （3）若将CD向上移动与⊙O相交于E、F，则可得到AB为⊙O直径，直线CD交⊙O于E、F，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D。
  ①求证：CE=DF　　
②若AC=a，CD=b，BD=c，求证：tan△CAE、tan△CAF是方程ax2－bx+c=0的两根（如图5）
评注：由tan△CAE=       tan△CAF=          由tan△CAE+ tan△CAF=       =……=     ，tan△CAE·tan△CAF=   
（4）若将CD继续多化：把上面图形结合起来，又可得到（如图6）
P为⊙O外一点，割线PA过圆心O，PC切⊙O于C，AM⊥PC于M，BN⊥PC于N，CO⊥PA于D，若AB=15，
sinP是方程25x2－5x－6=0的一个根，求PA
及△PCD的外接圆和内切圆的半径。
评注：由方程可解得sinP=   ，可得有关线段
的比，由前面可得启发，如连结OC，得
MC=CN，连结AC，得AC平分△MAD，可得
MC=CD=CN，连结BE，可得矩形和直角三角形，可得求解。
以上这些题目，由简到繁，组合在一起，使学生智力得到开发，举一反三，提高解题能力，可大大提高复习效果。