数学思想和方法的教学
数学思想和方法的教学
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
九年义务教育《数学课程标准》（以下简称“标准”）对初中数学中的基础知识作这样的描述：“初中数学中的基础知识包括初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理等，以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。”把数学思想和方法作为初中的基础知识在标准中明确提出，在素质教育中的重要性和必要性由此可见一斑。通过多年的教学实践，我们认为应注意以下几个方面：
一、把握“层次”，克服盲目性
综观“标准”在初中要求学生“了解”的数学思想计有：转化的思想、分类的思想、数形结合的思想、类比的思想；要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法；要求“理解”或“会运用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、换元法、图像法。这里，“了解”、“理解”、“会运用”是教学要求的具体尺子，随便提高或降低都会给这一基础知识的教学带来困难。特别是若把“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会运用”的层次，则学生从一开始便会觉得数学思想和方法高深莫测，从而失去学习数学的信心。
二、讲“方法”联系“思想”，以“思想”指导“方法”，两者相得益彰
数学思想和方法本来是不能截然分开的，中学数学中用到的各种方法都体现着一定的思想，但数学思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象，而方法则较为具体，它是实施有关思想的技术手段，对于初中学生来说尤其如此。因此，通过对数学方法的理解和应用以达到对数学思想的了解，是使思想与方法得到交融的有效方法。例如，初中数学中涉及最多的是转化的思想，大致有从未知到已知的转化、一般与特殊的转化、数与形的转化、由此及彼的转化等等。为了实现转化，引入了许多数学方法，比如消元降次法、换元法、图像法、待定系数法、配方法等。通过以上重要方法的学习，使学生充分领略到数学思想的风采，同时，数学思想的指导，更促进了数学方法的使用和巩固。
例１、解方程
解：移项，把原方程变形为
即
设 则有
即 得
由此 或 (舍去)
求得 ( 验根略 )
解无理方程的实质是把无理方程转化为有理方程，转化的方法就是把方程的两边同时乘方或换元，此方程结构复杂，两边平方不会轻易达到目的，因此，只有通过换元，而本题换元必须要有一个巧妙的构思，这个构思过程使学生对换元法理解的更加深刻了。
三、既要重点讲解，又要逐步渗透
教材中的许多公式、概念、定理等本身就隐含着丰富的数学方法的内容。如分类的思想方法，“标准”虽在“三角形”和“四边形”这两部分内容才提出来，但分类的思想和方法在教材的许多内容中都已经涉及到。
例如，有理数概念的教学：有理数是一个以外延定义的概念，课本中这样叙述：“整数和分数统称有理数”。它揭示了有理数的所有外延，即不扩充也不遗漏，这本身就体现了分类的思想方法，在数学教学中可依据具体情况对有理数作出不同的分类。
几何中有更多的分类内容，如：角的分类、三角形的分类、四边形的分类、圆周角的定理的证明、弦切角定理的证明、正弦定理的证明等等，不一而足，这些教材都为学习分类的思想方法提供了极好的素材，教学中应重视使用。
四、寓数学思想方法于教材教法之中，优化学生思维品质
数学思想方法不同于其它基础知识，不能用符号、图形、式子等表示，不可能在一节或几节课内完成。为了使学生在初中得到一些数学思想方法方面的陶冶，只有教师在平时的课堂教学活动中结合教材、教法有意识地有目的地进行传授，使学生慢慢地消化、吸收，天长日久才能达到潜移默化。
1、经常归纳，训练思维的深刻性
归纳的思想就是由个性到共性，由特殊现象归纳出一般的规律，从而从本质上把握事物。
例如，一元一次方程应用题中关于浓度问题的教学，引导学生做如下的练习：现有含盐10%的盐水300千克，
要配成含盐8%的盐水，需要加水多少？
要配成含盐15%的盐水，需要加盐多少？
要配成含盐18%的盐水，需要加入含盐25%的盐水多少千克？
做完以上练习之后，教师可以启发学生思考：如果把水的浓度看作0%，盐的浓度看作100%，三种类型的列式可否归纳为一种？
2、类比联想，训练相似思维
相似思维就是从一个事物的性质变化规律，去研究和发现另一有相似性事物的性质和变化规律，从而寻找解决问题的方法，相似思维需要联想，而类比的方法是联想的一种重要有效的途径。
如列一元一次方程解应用题，在讲完了行程问题之后，再讲工作量问题，可以引导学生这样思考：比较时间与工作日、速度与工作效率、距离与工作总量的意义，写出各自三个量之间的关系，分析在列方程中，等量关系是否有类似之处？
经分析得出：可以把工作量问题按照行程问题一样处理，另有工程问题、水流问题都与行程问题基本一致。
3、寻求转化，训练创造思维
前面提到，转化的思想是初中教材中涉及最多的数学思想，转化思维是创造思维的核心。
例2、证明方程 ( x - m )( x + n ) = 1有二个实根，且一根大于m ，一根小于m 。
此题若用常规方法是十分困难的，但若能联系二次函数的图像，应用数形的转化，会使问题很快地得到解决。
证：设 y = ( x - m )( x + n ) - 1 ，则其图像为开口向上的抛物线，取其上一点（ m , -1 ），此点在x轴下方，根据抛物线向上无限伸展的特性，必然与x轴交于两点，则交点 A(x1 , 0)，B(x2 , 0) 必在 (m , 0) 点的两旁，原题得证。（图略）
总之，教师在教学的各个环节——备课、讲课、辅导、作业布置等教学活动中，应努力挖掘适合初中学生的有关数学思想方法的知识，有意识地、长期地坚持进行，提高学生的素质，使教学水平更上一层楼。
