[奥数课堂]添加辅助线架起解题桥

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题目：如图，四边形ABCD是正方形，BE=1，DE=2，DF＝1，三角形

　　这是北京市小学生第十五届《迎春杯》数学竞赛决赛中的填空题，恰当地添加辅助线，可以用多种方法来解答。

分析 由四边形ABCD是正方形，BE＝1，EC=2，DF＝1，可知正方形的边长是3、FC＝2，三角形ECF是等腰直角三角形，它的面积是（2×2÷2＝）2。

　　过E点作EG∥AB（见图1），这样正方形被分成两个长方形ABEG和ECDG，长方表ECDG的面积是2×3=6。在ECDG这个长方形中，四边形ECFP

解法一 将EG三等分，则每一段的长都是1，所以三个三角形EPL、LPK、KPG的面积是相等的。由于GK=DF＝1，所以三角形KPG与FDP的面

解法二 过P点作PN∥EG，PN把长方形ECDG分成两个长方形ENPG和NCDP，再过F点作FM∥DP，FM把长方形NCDP分成两个长方形NCFM和MFDP（见图2）。

　　

ENP与EPG面积相等，在长方形MFDP中，三角形MFP与FDP面积相等，所以

解法三 连结PC，三角形ECP的面积是（2×3÷2＝）3，由于四

题目 四个足球队进行单循环比赛，每两队都要赛一场。如果踢平，每队各得1分，否则胜队得3分，负队得0分。比赛结果，各队的总得分恰好是四个连续的自然数。问：输给第一名的队的总分是多少？

　　这是一道逻辑推理问题。解题的关键是：首先要求出比赛的场数，再根据胜负的得分情况，估算出四个队总得分的范围，最后再根据四队得分是四个连续的自然数，推理出各队的得分，及每两队比赛的胜负情况，就能算出输给第一名的队的总分。

　　这是北京市迎春杯小学生第十五届《迎春杯》数学竞赛决赛中的解答题。

分析与解析 四个队进行单循环赛，共要赛（4×3）÷2=6场。如果每场都踢平，则6场比赛四个队共得了（2×6＝）12分；如果每场都分出胜负，则6场比赛四个队共得了（3×6=）18分，因此四队的总得分在12分～18分。

　　因为四个队的得分是四个连续的自然数，而1＋2＋3＋4＝10，2＋3＋4＋5=14，3＋4＋5＋6＝18，显然，四个队的总得分是14分，各队的得分分别是2、3、4、5分。

　　根据平分办法：踢平每队各得1分，分出胜负，胜队得3分，负队得0分，可知6场比赛分出胜负的场数：（14－12）÷（3－2）＝2场。

　　假设A队得5分，B队得4分，C队得3分，D队得2分。由C队得3分，可知C队与A、B、D队比赛均踢平；由D队得2分，可知D队与A、B队比赛时一场平一场负；由A、B两队得分都高于3分，又只有两场比赛分出胜负，可知A、B两队各踢胜一场，又由于5=3＋1+1，4=3＋1＋0，所以A队一胜两平，B队一胜一平一负。这样，只能是A队胜B队，B队胜D队，其余四场均踢平。输给第一名（A队）的队（B队）的总分是4分。