[奥数课堂]“数一数”的方法和规律

[奥数课堂]“数一数”的方法和规律

本文给出“数一数”的方法和规律，供读者参考。

一、线的单向分割

例1 数一数，图1中有几条线段？

分析与解 线段AE被B、C、D三点分成四条基本线段。这四条基本线段构成的线段有四类：用四条基本线段构成的线段只有1条（AE）；用三条基本线段构成的线段有2条（AD、BE）；用两条基本线段构成的线段有3条（AC、BD、CE）；用一条基本线段构成的线段有4条（AB、BC、CD、DE）。所以，图1中线段总数是（1＋2＋3＋4=）10条。

规律一 一条线段被分成a条基本线段，这些基本线段所构成的线段总数是1＋2＋……＋a条。

例2 数一数，图2中有几个矩形？　

分析与解 图2中最大矩形被纵向分为四个基本矩形，与例1类同。由规律一可知，图2中矩形总数是（1＋2＋3＋4＝）10个。

例3 数一数，图3中有几个三角形？

分析与解 图3中最大三角形被从同一顶点引出的四条线段纵向分为五个基本三角形，与例1、例2类同。由规律一可知，这些基本三角形构成的三角形有（1＋2＋3＋4＋5＝）15个。

例4 数一数，图中有几个立方体？　

分析与解 图4中最大立方体被纵向分为三个基本立方体，与例1、例2类同。由规律一可知，图4中立方体总数是（1＋2＋3＝）6个。

　　以上四例中的图示虽然分别表示线、面、体的分割；但都是单向分割，其实质均可视为线段分割，数学意义相同。所以具有同一数学规律。

二、面的双向分割

例5 数一数，图5中有几个矩形（包括长方形和正方形两种几何图形）？

分析与解 图5中最大矩形被纵向分成五部分，横向分成4＝）20个基本矩形。由规律一和例2可知，（1）每一横列有矩形（1＋2＋3＋4＋5＝）15个；（2）每一纵列有矩形（1＋2＋3＋4=）10个；综合（1）和（2）可知，图5中矩形总数是（10×15＝）150个。

规律二 一个矩形被纵向分成a部分，横向分成b部分，一共有（a×b）个基本矩形；这些基本矩形所构成的矩形有（1＋2＋…＋a）（1＋2＋…＋b）个。特殊的有，如果矩形被纵向横向都分成a部分，就有a²个基本矩形，这些基本矩形构成的矩形总数是（1＋2＋…＋a）²个。

例6 数一数，图6中有几个三角形？

分析与解 图6中最大三角形ABC被从A点引出的四条线段纵向分成五个基本三角形，又被两条横向线段分成三部分。由规律一和例3可知，以A为顶点，以DE上线段为底边的三角形有（1＋2＋3＋4＋5=）15个；同理，以A为顶点，分别以FG上线段和BC上线段为底边的两类三角形都各有15个。所以，三类三角形的总数为（15×3=）45个。

　　显然，此题解答不同于例5。这是因为，图6中的三角形仅因底边分属三条直线而分为三类，且所有三角形都有一个共同的顶点A。

例7 数一数，图7中有几个正方形　

分析与解 图7中最大正方形被纵向横向都分成四等份，得（4²=）16个全等基本正方形。这些基本正方形构成的正方形有四类：用4²个基本正方形构成的正方形只有1个（＝1²个），用3²个基本正方形构成的正方形有4个（＝2²个），用2²个基本正方形构成的正方形有9个（＝3²个）；用1²个基本正方形构成的正方形有16个（=4²个）。所以，图7中正方形的总数是（1²＋2²+3²+4²＝）30个。

　　如果例7中的问题改为，图7中有矩形（包括正方形和长方形两种几何图形）多少个？那么，由规律二的特殊情形可知，图7中的矩形有[（1＋2＋3＋4）²＝10² =]100个。显然，图7中的长方形总数是（100-30=）70个。

三、体的三向分割

例8 数一数，图8中有几个立方体？

分析与解 图8中最大立方体被横向分为两部分，纵向分为三部分，平向分为四部分，这样就得（2×3×4＝）24个基本立方体。由规律一和例4可知，每层每纵列有立方体（1＋2=）3个；每层每横列有立方体（1＋2＋3=）6个；每竖列有立方体（1＋2＋3＋4=）10个。综合以上三个数据可知，图8中立方体的总数有（3×6×10=）180个。

规律三 一个立方体被纵向分为a部分，横向分为b部分，平向分为c部分，这样可得（a×b×c）个基本立方体；这些基本立方体构成的立方体总数为（1＋2＋…＋）（1＋2＋…＋b）（1＋2＋…＋c）个。特殊的有，当立方体被纵向、横向、平向都分为a个部分时就得到a³个基本立方体；这些基本立方体构成的立方体总数为（1＋2＋…＋a）³个。

例9 数一数，图9中有几个正方体？

分析与解 图9中最大正方体被纵向、横向、平向都分成四等份，得到（4³=）64个全等基本正方体。这些基本正方体构成的正方体有四类：用4³个基本正方体构成的正方体只有1个；用3³个基本正方体构成的正方体有（2³=）8个；用2³个基本正方体构成的正方体有（3³=）27个；用1³个基本正方体构成的正方体有（4³＝）64个。所以图9中有正方体（1³＋2³＋3³＋4³＝）100个。

　　以上3种类型9道例题的解答过程使我们知道“数一数”这类题目的基本思路是，按照一定的顺序，有条不紊地思考问题，基本方法是分类统计，逐步地解答问题。根据这种思路和方法归纳概括了3条规律。这3条规律在知识结构上是互相联系的，前者是后者的基础，后者是前者的发展，呈递进关系。