第三届青少年数学国际城市邀请赛

第三届青少年数学国际城市邀请赛

菲律宾  大雅市

ThirdInvitationalWorldYouthMathematicsInter-City Competition

Tagaytay City,

 

个人赛试题

考试时间: 2 小时

 

第一部份

填充题：共10小题，每小题6分〈请将各题正确的答案写在试卷题后的空格内，不必列出计算过程。〉.

Question 1

n 为整数，若1 + 2 + … + n的和恰等于一个三位数，且此三位数的每个数字皆相同。

试找出所有可能的n。

                                                                  答:

                                                                                          

Question 2

五边形 ABCDE〈如右图〉中,

                  

试求五边形 ABCDE的面积。          

 

 

                                                                                                 答:

                                                                                                                                            

Question 3

若将一个6厘米 ´ 6厘米的正方形盖在一个三角形上，则最多可盖住此三角形 60% 的面积。反之，若将此三角形盖在此正方形上，则最多可盖住此正方形 的面积。试求这个三角形的面积。                                                          

                                                                                                                 答:                      平方厘米

Question 4

有一组连续的四个正整数，从小到大依次排列，第一个数是5的倍数；第二个数是7的倍数；第三个数是9的倍数；第四个数是11的倍数。试求此四个连续正整数。

                                                               答:

                                                                                          

Question 5

在5时到6时之间，某人看表时，由于不慎将时针看成分针，造成他看到的时间比正确的时间早了57分钟。试问正确时间是几时几分？

                                                                        答 :          时            分

                                                                                          

Question 6

的内切圆分别与三边BC、CA、AB切于 D、E、F 。若内切圆半径为4，且 BD、 CE、AF 之长是连续整数。试求 的三边长。

                                                                               答:                ，         ，        

 

Question 7

试求出所有的质数P，使得下列方程组有整数解 ：

                                                           

                                                                               答:

                                                                                                                                             

Question 8

解方程式:    

             

                                                                               答:

                                                                                                                                            

Question 9

化简      

                                                                       答:

                                                                                                                                              

Question 10

设M = 1010101…01 ，其中数字1出现k次，N = 1001001001001。试求出最小的k值使得M能被N整除。

 

                                                                                                                                                                                   答:

                                                                                                                                            

 

第二部份

计算证明题，共三题，每题20分。〈请在题目下方空白处作答，必须列出详细计算证明过程，部份解答给部份成绩〉

 

Question 1

a、b为两个相异的正实数，若 。

试证：

Question 2

试确定实数p的范围，使得方程式  有两个相异正实数解。

 

Question 3

锐角 的三边长为 a、 b、 c且 。在三角形内作正方形，使得正方形的四个顶点都在 的边上。经过这样作出的正方形有三种可能〈例如：正方形有一个顶点在a边上，有一个顶点在b边上，有了二个顶点在c边上〉。这三种可能作出的正方形中，那一个面积最大？请证明你的结果。