含绝对值的方程及不等式
含绝对值的方程及不等式
从数轴上看,一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离.但除零以外,任一个绝对值都是表示两个不同数的绝对值.即一个数与它相反数的绝对值是一样的.由于这个性质,所以含有绝对值的方程与不等式的求解过程又出现了一些新特点.本讲主要介绍方程与不等式中含有绝对值的处理方法. 一个实数a的绝对值记作|a|,指的是由a所唯一确定的非负实数: 含绝对值的不等式的性质:
(2)|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (3)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 由于绝对值的定义,所以含有绝对值的代数式无法进行统一的代数运算.通常的手法是分别按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况,脱去绝时值符号,转化为不含绝对值的代数式进行运算,即含有绝对值的方程与不等式的求解,常用分类讨论法.在进行分类讨论时,要注意所划分的类别之间应该不重、不漏.下面结合例题予以分析. 例1 解方程|x-2|+|2x+1|=7. 分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号,这可用“零 掉绝对值符号再求解. 解(1)当x≥2时,原方程化为
应舍去.
说明 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内,则这样的解不是方程的解,应舍去. 例2 求方程|x-|2x+1||=3的不同的解的个数.
为只含有一个绝对值符号的方程.然后再去掉外层的绝对值符号求解. 即 |1+x|=3,
即 |3x+1|=3, 的个数为2. 例3 若关于x的方程||x-2|-1|=a有三个整数解.则a的值是多少? 解 若a<0,原方程无解,所以a≥0.由绝对值的定义可知 所以 |x-2|=1±a. (1)若a>1,则|x-2|=1-a<0,无解.|x-2|=1+a,x只能有两个解x=3+a和x=1-a. (2)若0≤a≤1,则由|x-2|=1+a,求得 由|x-2|=1-a,求得 原方程的解为x=3+a,3-a,1+a,1-a,为使方程有三个整数解,a必为整数,所以a只能取0或1.当a=0时,原方程的解为x=3,1,只有两个解,与题设不符,所以a≠0.当a=1时,原方程的解为x=4,0,2,有三个解. 综上可知,a=1. 例4 已知方程|x|=ax+1有一负根,且无正根,求a的取值范围. 解 设x为方程的负根,则-x=ax+1,即 所以应有a>-1.反之,a>-1时,原方程有负根. 设方程有正根x,则x=ax+1,即 所以a<1.反之,a<1时,原方程有正根. 综上可知,若使原方程有一负根且无正根,必须a≥1. 例5 设 求x+y. 分析 从绝对值的意义知 两个非负实数和为零时,这两个实数必须都为零. 解 由题设有 把③代入①得 例6 解方程组 分析与解 由①得x-y=1或x-y=-1,即 与②结合有下面两个方程组
解(Ⅰ):把x=y+1代入|x|+2|y|=3得 组(Ⅰ)的解为 同理,解(Ⅱ)有 故原方程组的解为 例7 解方程组 解 由①得 因为|x-y|≥0,所以x+y>0,所以|x+y|=x+y. ③ 把③代入②有 所以y=2.将之代入①有|x-2|=x,所以 或 x-2=-x. ⑤ ④无解,所以只有解⑤得x=1.故 说明 本题若按通常的解法,区分x+y≥0和x+y<0两种情形,把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-(x+y)=x+2,对方程①也做类似处理的话,将很麻烦.上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质,从方程①中发现必有x+y>0,因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号,从而简化了解题过程. 例8 解不等式|x-5|-|2x+3|<1.
<x≤5,x>5.
(3)当x>5时,原不等式化为 解之得x>-9,结合x>5,故x>5是原不等式的解. 的解. 例9 解不等式1≤|3x-5|≤2. 分析与解 此不等式实际上是 解 对|3x-5|≥1:
对|3x-5|≤2:
所以①与②的公共解应为
例 10 解不等式||x+3|-|x-3||>3. 解 从里往外去绝对值符号,将数轴分为x≤-3,-3<x≤3,x>3三段来讨论,于是原不等式化为如下三个不等式组.
即 x≤-3.
即 x>3.
说明 本题也可以由外向内去绝对值符号,由绝对值的意义,解下面两个不等式 分别解出①和②即可,请同学们自己完成这个解法. 例11 当a取哪些值时,方程|x+2|+|x-1|=a有解? 解法1 (1)当x≤-2时, (2)当-2<x<1时, (3)当x≥1时, 所以,只有当a≥3时,原方程有解. 解法2 按照绝对值的性质|a-b|≤|a|+|b|,故 其中等号当-2≤x≤1时成立,所以当a≥3时,原方程有解. 1.解下列方程: (1)|x+3|-|x-1|=x+1; (2)||1+x|-1|=3x; (3)|3x-2|-|x+1|=x+2; (4)|3y-2|=-|5x-3|. 2.解方程组:
3.解下列不等式:
(2)5≤|5x-3|≤10; (3)|x+1|+|4-x|<6; (4)||x-1|-|x+2||>1. 4.若a>0,b<0,则方程|x-a|+|x-b|=a-b的解是什么? |