方程组的解法

方程组的解法

方程组的解法

 二元及多元(二元以上)一次方程组的求解,主要是通过同解变形进行消元,最终转化为一元一次方程来解决.所以,解方程组的基本思想是消元,主要的消元方法有代入消元和加减消元两种,下面结合例题予以介绍.

  1 解方程组

 

   将原方程组改写为

  由方程②得x=6+4y,代入①化简得

  由③得

   ④×3+⑤×4

  所以 y=-1

  y=-1代入⑤,得z=2.将y=-1代入②,得x=2.所以

为原方程组的解.

  说明 本题解法中,由①,②消x时,采用了代入消元法;解④,⑤组成的方程组时,若用代入法消元,无论消y,还是消z,都会出现分数系数,计算较繁,而利用两个方程中z的系数是一正一负,且系数的绝对值较小,采用加减消元法较简单.

  解方程组消元时,是使用代入消元,还是使用加减消元,要根据方程的具体特点而定,灵活地采用各种方法与技巧,使解法简捷明快.

  2 解方程组

  解法1 由①,④消x

  由⑥,⑦消元,得

  解之得

  y=2代入①得x=1.将z=3代入③得u=4.所以

  解法2 由原方程组得

  所以

   x=-15+16x,解之得x=1.将x=1代入⑧得u=4.将u=4代入⑦得z=3.将z=3代入⑥得y=2.所以

为原方程组的解.

  解法3 +++④得

    由⑤-(+)

    由①×2-④得

     ⑥+⑦得y=2.以下略.

  说明 解法2很好地利用了本题方程组的特点,解法简捷、流畅.

  3 解方程组

  分析与解 注意到各方程中同一未知数系数的关系,可以先得到下面四个二元方程:

     +②得

     +③得

     +④得

     ④+⑤得

   又①++++⑤得

   --⑦得z=7,把z=7代入⑧得x=0,把x=0代入⑥得u=3,把u=3代入⑨得y=6,把y=6代入⑦得v=-1.所以

为原方程组的解.

  4 解方程组

  解法1 ①×2+②得

    由③得

    代入④得

   

  为原方程组的解.

   

为原方程组的解.

  说明 解法1称为整体处理法,即从整体上进行加减消元或代入消

为换元法,也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”,从而简化方程组的求解过程.

  5 已知

     

  分析与解 一般想法是利用方程组求出xyz的值之后,代入所求的代数式计算.但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的,因此无法求出xyz的确定有限解,但我们可以利用加减消元法将原方程组变形.

  -②消去x

  ①×3+②消去y

  ①×5+②×3消去z

    

  6 已知关于xy的方程组

分别求出当a为何值时,方程组(1)有唯一一组解;(2)无解;(3)有无穷多组解.

  分析 与一元一次方程一样,含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论,一般是通过消元,归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论.但必须特别注意,消元时,若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时,这个式子的值不能等于零.

   由①得

  将③代入②得

  (1)(a-2)(a+1)0,即a2a-1时,方程④有

  因而原方程组有唯一一组解.

  (2)(a-2)(a+1)=0(a-2)(a+2)0时,即a=-1时,方程④无解,因此原方程组无解.

  (3)(a-2)(a+1)=0(a-2)(a+2)=0时,即a=2时,方程④有无穷多个解,因此原方程组有无穷多组解.

  7 已知关于xy的二元一次方程

  a每取一个值时,就有一个方程,而这些方程有一个公共解,试求出这个公共解.

  解法1 根据题意,可分别令a=1a=-2代入原方程得到一个方程组

  x=3y=-1代入原方程得  

  所以对任何a

  说明 a=1为的是使方程中(a-1)x=0,方程无x项,可直接求出y值;取a=-2的道理类似.

  解法2 可将原方程变形为

  由于公共解与a无关,故有

  8 甲、乙两人解方程组

   

原方程的解.

  分析与解 因为甲只看错了方程①中的a,所以甲所得到的解

  解由③,④联立的方程组得

  所以原方程组应为

  1.解方程组

  

   

  2.若x1x2x3x4x5满足方程组

     

试确定3x4+2x5的值.

  3.将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式,试求

  4k为何值时,方程组

  5.若方程组

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